富比尼定理

Template:Expand Template:Unreferenced 富比尼定理（Template:Lang-en）是数学分析中有关重积分的一个定理，由数学家圭多·富比尼在1907年提出。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算双重积分的条件。在这些条件下，不仅能够用逐次积分计算双重积分，而且交换逐次积分的顺序时，积分结果不变。「托內利定理」由数学家列奧尼達·托內利在1909年提出，与富比尼定理相似，但是是应用于非负函数而不是可积函数。

定理

若

$\underset{A\times B}{\int }|f(x,y)|d(x,y)<\mathrm{\infty }$，

其中A和B都是σ-有限测度空间，$A\times B$是$A$和$B$的积可测空间，$f:A\times B\mapsto ℂ$是可测函数，那么

$\underset{A}{\int }(\underset{B}{\int }f(x,y)dy)dx=\underset{B}{\int }(\underset{A}{\int }f(x,y)dx)dy=\underset{A\times B}{\int }f(x,y)d(x,y)$，

前二者是在两个测度空间上的逐次积分，但积分次序不同；第三个是在乘积空间上关于乘积测度的积分。

特别地，如果$f(x,y)=h(x)g(y)$，则

$\underset{A}{\int }h(x)dx\underset{B}{\int }g(y)dy=\underset{A\times B}{\int }f(x,y)d(x,y)$。

如果条件中绝对值积分值不是有限，那么上述两个逐次积分的值可能不同。

非负函数的Tonelli定理

托內利定理延续了富比尼定理。托內利定理的结论与富比尼定理一样，但是条件从$|f|$积分有限改为了$f$非负。

应用

富比尼定理一个应用是计算高斯积分。高斯积分是很多概率论结果的基础：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}$