并集

A和B的并集

在集合论和数学的其他分支中，一群集合的并集（Union），是以这群集合的所有元素來构成的集合。

有限聯集

聯集是由公理化集合论的分類公理來確保其唯一存在的特定集合 $A\cup B$ ：

$(\mathrm{\forall }A)(\mathrm{\forall }B)(\mathrm{\forall }x)\{(x\in A\cup B)\iff [(x\in A)\vee (x\in B)]\}$

也就是直觀上：

「對所有 $x$ ， $x\in A\cup B$ 等價於 $x\in A$ 或 $x\in B$」

举例：

集合$\{1,2,3\}$和$\{2,3,4\}$的并集是$\{1,2,3,4\}$。数$9$不属于素数集合$\{2,3,5,7,11,\dots \}$和偶数集合$\{2,4,6,8,10,\dots \}$的并集，因为$9$既不是素数，也不是偶数。

更通常的，多个集合的并集可以这样定义： 例如，$A,B$和$C$的并集含有所有$A$的元素，所有$B$的元素和所有$C$的元素，而没有其他元素。形式上：

$x$是$A\cup B\cup C$的元素，当且仅当$x$属于$A$或$x$属于$B$或$x$属于$C$。

代数性质

二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即

$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$。事实上，$A\cup B\cup C$也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的，并集运算满足交换律，即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。即$\varnothing \cup A=A$，对任意集合$A$。可以将空集当作零个集合的并集。

结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。

无限并集

由公理化集合论的并集公理，有唯一的集合 $\bigcup ℳ$ 滿足：

$(\mathrm{\forall }ℳ)(\mathrm{\forall }x)\{(x\in \bigcup ℳ)\iff (\mathrm{\exists }A)[(A\in ℳ)\wedge (x\in A)]\}$

也就是直觀上「對所有 $ℳ$ 和所有 $x$ ， $x\in \bigcup ℳ$ 等價於有某個 $ℳ$ 的下屬集合 $A$ ，使得$x\in A$」。以上的 $ℳ$ 可以直觀的視為一個集合族，而把 $\bigcup ℳ$ 看成對 $ℳ$ 內的集合取并集，但這個公理並沒有對 $ℳ$ 下屬集合的數量做出任何限制，所以這個 $\bigcup ℳ$ 被俗稱為任意并集或无限并集。

若 $X\subseteq \bigcup ℳ$ ，會稱 $X$ 被 $ℳ$ 覆蓋（cover），也就是直觀上可以用 $ℳ$ 裡的所有集合疊起來蓋住 $X$。

例如：

對 $ℳ=\{A,B,C\}$，$\bigcup ℳ=A\cup B\cup C$ ，若 $M$是空集， $\bigcup ℳ$ 也是空集。

无限并集有多种表示方法：

可模仿求和符号記為

$\bigcup _{A\in ℳ}A$。

但大多數人會假設指标集 $I$ 的存在，換句話說

若 $I\stackrel{A}{\cong }ℳ$ 則 $\bigcup _{i\in I}A(i):=\bigcup ℳ$

在指标集 $I$ 是自然数系 $\mathbb{N}$ 的情况下，更可以仿无穷级数來表示，也就是說：

若 $\mathbb{N}\stackrel{A}{\cong }ℳ$ 則 $\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}A(i):=\bigcup ℳ$

也可以更粗略直觀的將 $\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}A(i)$ 写作$A_0\cup A_1\cup A_2\cup \dots$。

无限并集的性質

證明

(1) $(\mathrm{\forall }x)[\mathrm{\neg }(x\in \varnothing )]$ (空集公理) (2) $\mathrm{\neg }(S\in \varnothing )$(MP with A4, 1) (3)$(S\in \varnothing )\Rightarrow [\mathrm{\neg }(x\in S)]$(M0 with 2) (4)$\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }(S\in \varnothing )\Rightarrow [\mathrm{\neg }(x\in S)]$(Equv with DN, 3) (5)$\mathrm{\neg }\{[\mathrm{\neg }(S\in \varnothing )]\wedge [\mathrm{\neg }(x\in S)]\}$(Equv with De Morgan, 4) (6)$(\mathrm{\forall }S)\{\mathrm{\neg }\{[\mathrm{\neg }(S\in \varnothing )]\wedge [\mathrm{\neg }(x\in S)]\}\}$(GEN with $S$ , 5) (7)$\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }S)\{[\mathrm{\neg }(S\in \varnothing )]\wedge [\mathrm{\neg }(x\in S)]\}$(Equv with DN, 6) (8)$(\mathrm{\forall }x)\{(x\in \bigcup \varnothing )\iff (\mathrm{\exists }S)\{(S\in \varnothing )\wedge (x\in S)\}\}$(MP with 并集公理, A4) (9)$(x\in \bigcup \varnothing )\iff (\mathrm{\exists }S)\{(S\in \varnothing )\wedge (x\in S)\}$(MP with A4, 8) (10)$(x\in \bigcup \varnothing )\Rightarrow (\mathrm{\exists }S)\{(S\in \varnothing )\wedge (x\in S)\}$(MP with AND ,9) (11)$\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }S)\{(S\in \varnothing )\wedge (x\in S)\}\Rightarrow \mathrm{\neg }(x\in \bigcup \varnothing )$(MP with T, 10) (12)$\mathrm{\neg }(x\in \bigcup \varnothing )$(MP with 7, 11) (13)$(\mathrm{\forall }x)(x\in ̸\bigcup \varnothing )$(GEN with $x$ , 12) (14)$(y=\varnothing )\iff (\mathrm{\forall }x)[\mathrm{\neg }(x\in y)]$ (E) (15)$(\mathrm{\forall }y)\{(y=\varnothing )\iff (\mathrm{\forall }x)[\mathrm{\neg }(x\in y)]\}$ (GEN with $y$ , 14) (16)$(\bigcup \varnothing =\varnothing )\iff (\mathrm{\forall }x)\left[\mathrm{\neg }(x\in \bigcup \varnothing )\right]$(MP with A4, 15) (17) $\bigcup \varnothing =\varnothing$ (Equv with 13, 16)

比較性質

證明

注意到可以從(AND)得到 $(𝒫\Rightarrow 𝒬),(𝒫\Rightarrow ℛ),𝒫⊢𝒬\wedge ℛ$ 換句話說，從演繹元定理有 (u) $(𝒫\Rightarrow 𝒬),(𝒫\Rightarrow ℛ)⊢𝒫\Rightarrow (𝒬\wedge ℛ)$ (1) $(\mathrm{\forall }A)[(A\in ℳ)\Rightarrow (A\in 𝒩)]$ (Hyp) (2) $(A\in ℳ)\Rightarrow (A\in 𝒩)$(MP with 1, A4) (3) $[(a\in A)\wedge (A\in ℳ)]\Rightarrow (A\in ℳ)$(AND) (4)$[(a\in A)\wedge (A\in ℳ)]\Rightarrow (a\in A)$(AND) (5)$[(a\in A)\wedge (A\in ℳ)]\Rightarrow (A\in 𝒩)$(D1 with 2, 3) (6)$[(a\in A)\wedge (A\in ℳ)]\Rightarrow [(a\in A)\wedge (A\in 𝒩)]$(u with 4, 5) (7)$(\mathrm{\exists }A\in ℳ)(a\in A)\Rightarrow (\mathrm{\exists }A\in 𝒩)(a\in A)$(GENe with $A$, 6) (8) $(\mathrm{\forall }x)\{(x\in \bigcup ℳ)\iff (\mathrm{\exists }A\in ℳ)(x\in A)\}$(MP with 并集公理, A4) (9) $(\mathrm{\forall }x)\{(x\in \bigcup 𝒩)\iff (\mathrm{\exists }A\in 𝒩)(x\in A)\}$(MP with 并集公理, A4) (10) $(x\in \bigcup ℳ)\iff (\mathrm{\exists }A\in ℳ)(x\in A)$ (MP with 8, A4) (11) $(x\in \bigcup 𝒩)\iff (\mathrm{\exists }A\in 𝒩)(x\in A)$ (MP with 9, A4) (12) $(x\in \bigcup ℳ)\Rightarrow (\mathrm{\exists }A\in 𝒩)(x\in A)$(D1 with 7, 10) (13) $(x\in \bigcup ℳ)\Rightarrow (x\in \bigcup 𝒩)$(D1 with 11, 12) (14) $(\mathrm{\forall }x)[(x\in \bigcup ℳ)\Rightarrow (x\in \bigcup 𝒩)]$(GEN with $a$ , 13)

覆蓋性質

「$A$ 正好就是其冪集的聯集」，這個定理直觀上可理解成，因為冪集 $𝒫(A)$ 是以 $A$ 和 $A$ 的子集為元素，所以 $𝒫(A)$ 的聯集理當是 $A$ 。

證明

注意到可以從(AND)得到 $(𝒫\Rightarrow 𝒬),(𝒫\Rightarrow ℛ),𝒫⊢𝒬\wedge ℛ$ 換句話說，從演繹元定理有 (u) $(𝒫\Rightarrow 𝒬),(𝒫\Rightarrow ℛ)⊢𝒫\Rightarrow (𝒬\wedge ℛ)$ (1)$(\mathrm{\forall }x)\{[x\in \bigcup 𝒫(A)]\iff (\mathrm{\exists }S)\{[S\in 𝒫(A)]\wedge (x\in S)\}\}$(MP with 并集公理, A4) (2) $(\mathrm{\forall }S)\{[S\in 𝒫(A)]\iff (S\subseteq A)\}$(幂集公理) (3) $[S\in 𝒫(A)]\iff (S\subseteq A)$(MP with A4 ,2) (4) $(\mathrm{\forall }x)\{[x\in \bigcup 𝒫(A)]\iff (\mathrm{\exists }S)[(S\subseteq A)\wedge (x\in S)]\}$ (Equv with 1, 3) (5) $[(S\subseteq A)\wedge (x\in S)]\Rightarrow (S\subseteq A)$(AND) (6) $(\mathrm{\forall }x)[(x\in S)\Rightarrow (x\in A)]\Rightarrow [(x\in S)\Rightarrow (x\in A)]$(A4) (7) $[(S\subseteq A)\wedge (x\in S)]\Rightarrow [(x\in S)\Rightarrow (x\in A)]$(D1 with 5, 6) (8) $[(S\subseteq A)\wedge (x\in S)]\Rightarrow (x\in S)$(AND) (9) $[(S\subseteq A)\wedge (x\in S)]\Rightarrow \{(x\in S)\wedge [(x\in S)\Rightarrow (x\in A)]\}$(u with 7, 8) 注意到 $(x\in S),[(x\in S)\Rightarrow (x\in A)]⊢(x\in A)$ 再對上式套用(AND)就有 $\{(x\in S)\wedge [(x\in S)\Rightarrow (x\in A)]\}⊢(x\in A)$(a) (10') $[(S\subseteq A)\wedge (x\in S)]\Rightarrow (x\in A)$(D1 with a, 9) (11') $(\mathrm{\exists }S)[(S\subseteq A)\wedge (x\in S)]\Rightarrow (x\in A)$(GENe with $S$, 10') (12') $(\mathrm{\forall }S)\{\mathrm{\neg }[(S\subseteq A)\wedge (x\in S)]\}\Rightarrow \{\mathrm{\neg }[(A\subseteq A)\wedge (x\in A)]\}$ (A4) (13') $[(A\subseteq A)\wedge (x\in A)]\Rightarrow (\mathrm{\exists }S)[(S\subseteq A)\wedge (x\in S)]$ (MP with T, 12') (14') $(x\in A)\Rightarrow (x\in A)$ (I) (15') $A\subseteq A$ (GEN with $x$ , 14') 注意到(AND)依據演繹定理可改寫為 $(A\subseteq A)⊢(x\in A)\Rightarrow [(A\subseteq A)\wedge (x\in A)]$(b) (16'') $(x\in A)\Rightarrow [(A\subseteq A)\wedge (x\in A)]$ (b with 15') (17'') $(x\in A)\Rightarrow (\mathrm{\exists }S)[(S\subseteq A)\wedge (x\in S)]$ (D1 with 13', 16'') (18'') $(x\in A)\iff (\mathrm{\exists }S)[(S\subseteq A)\wedge (x\in S)]$ (AND with 11', 17'') (19'') $(\mathrm{\forall }x)\{[x\in \bigcup 𝒫(A)]\iff (x\in A)\}$(Equv with 4, 18''')

直觀上，這個定理說「一群集合的聯集包含於 $A$ ，則它們個個都包含於 $A$ 」

證明

(1) $(\mathrm{\forall }a)[(\mathrm{\exists }M\in ℳ)(a\in M)\Rightarrow (a\in A)]$ (Hyp) (2) $[(M\in ℳ)\wedge (a\in M)]\Rightarrow (\mathrm{\exists }M\in ℳ)(a\in M)$ (A4 and T) (3) $(\mathrm{\exists }M\in ℳ)(a\in M)\Rightarrow (a\in A)$ (MP with 1, A4) (4) $[(M\in ℳ)\wedge (a\in M)]\Rightarrow (a\in A)$ (D1 with 2, 3) (5) $(M\in ℳ)\Rightarrow [(a\in M)\Rightarrow (a\in A)]$ (MP with abb, 4) (6) $(\mathrm{\forall }a)\{(M\in ℳ)\Rightarrow [(a\in M)\Rightarrow (a\in A)]\}$ (GEN with $a$ , 5) (7) $(M\in ℳ)\Rightarrow (\mathrm{\forall }a)[(a\in M)\Rightarrow (a\in A)]$ (MP with A5 , 6) (8) $(\mathrm{\forall }M)\{(M\in ℳ)\Rightarrow (\mathrm{\forall }a)[(a\in M)\Rightarrow (a\in A)]\}$ (GEN with $M$ , 7)

Template:Math theorem直觀上，這個定理說「集族 $ℳ$ 的聯集為 $A$ ，則對 $A$ 的每點 $a$ ，都可從 $ℳ$ 裡找到一個 $a$ 的鄰域 $M$ ，且這個鄰域不會比 $A$ 大 」

證明

注意到可以從(AND)得到 $(𝒫\Rightarrow 𝒬),(𝒫\Rightarrow ℛ),𝒫⊢𝒬\wedge ℛ$ 換句話說，從演繹元定理有 (u) $(𝒫\Rightarrow 𝒬),(𝒫\Rightarrow ℛ)⊢𝒫\Rightarrow (𝒬\wedge ℛ)$ (1) $(\mathrm{\forall }a)[(a\in A)\iff (\mathrm{\exists }M\in ℳ)(a\in M)]$ (Hyp) (2) $(\mathrm{\forall }M\in ℳ)(M\subseteq A)$(MP with 1, 定理3) (3) $(M\in ℳ)\Rightarrow (M\subseteq A)$(MP with A4, 2) (4) $[(a\in M)\wedge (M\in ℳ)]\Rightarrow (M\in ℳ)$(AND) (5) $[(a\in M)\wedge (M\in ℳ)]\Rightarrow (a\in M)$(AND) (6) $[(a\in M)\wedge (M\in ℳ)]\Rightarrow (M\in ℳ)$(AND) (7) $[(a\in M)\wedge (M\in ℳ)]\Rightarrow (M\subseteq A)$ (D1 with 3, 4) (8) $[(a\in M)\wedge (M\in ℳ)]\Rightarrow [(a\in M)\wedge (M\in ℳ)]$(a with 5, 6) (9) $[(a\in M)\wedge (M\in ℳ)]\Rightarrow [(a\in M)\wedge (M\in ℳ)\wedge (M\subseteq A)]$(a with 7, 8) (10) $(\mathrm{\exists }M\in ℳ)(a\in M)\Rightarrow (\mathrm{\exists }M\in ℳ)[(a\in M)\wedge (M\subseteq A)]$(GENe with $M$, 9) (11) $(a\in A)\iff (\mathrm{\exists }M\in ℳ)(a\in M)$(MP with A4, 1) (12) $(a\in A)\Rightarrow (\mathrm{\exists }M\in ℳ)(a\in M)$(AND with 11) (13) $(a\in A)\Rightarrow (\mathrm{\exists }M\in ℳ)[(a\in M)\wedge (M\subseteq A)]$(D1 with 10, 12) (14) $(\mathrm{\forall }a\in A)(\mathrm{\exists }M\in ℳ)[(a\in M)\wedge (M\subseteq A)]$(GEN with $a$, 13) (15)$(\mathrm{\forall }S)\{[S\in 𝒫(A)]\iff (S\subseteq A)\}$(幂集公理) (16)$[M\in 𝒫(A)]\iff (M\subseteq A)$(MP with A4, 15) (17)$(\mathrm{\forall }a\in A)(\mathrm{\exists }M\in ℳ)\{(a\in M)\wedge [M\in 𝒫(A)]\}$(Equv with 14, 16) (18) $(\mathrm{\forall }A)(\mathrm{\forall }B)(\mathrm{\forall }x)\{(x\in A\cap B)\iff [(x\in A)\wedge (x\in B)]\}$(有限交集) (19)$(\mathrm{\forall }B)(\mathrm{\forall }x)\{(x\in ℳ\cap B)\iff [(x\in ℳ)\wedge (x\in B)]\}$(MP with A4, 18) (20)$(\mathrm{\forall }x)\{[x\in ℳ\cap 𝒫(A)]\iff \{(x\in ℳ)\wedge [x\in 𝒫(A)]\}\}$(MP with A4, 19) (21)$[M\in ℳ\cap 𝒫(A)]\iff \{(M\in ℳ)\wedge [M\in 𝒫(A)]\}$(MP with A4, 20) (22)$(\mathrm{\forall }a\in A)(\mathrm{\exists }M)\{(a\in M)\wedge [M\in ℳ\cap 𝒫(A)]\}$(Equv with 17, 21) (23)$\{a\in \bigcup [ℳ\cap 𝒫(A)]\}\iff (\mathrm{\exists }M)\{(a\in M)\wedge [M\in ℳ\cap 𝒫(A)]\}$(MP with 并集公理, A4) (24)$(\mathrm{\forall }a)\{(a\in A)\Rightarrow \{a\in \bigcup [ℳ\cap 𝒫(A)]\}\}$(Equv with 22, 23)

運算性質

證明

(1)$(\mathrm{\forall }B)[(B\in {ℳ}_A)\iff (\mathrm{\exists }M\in ℳ)(B=M\cap A)]$ (${ℳ}_A$的定義) (2) $(\mathrm{\forall }x)\{(x\in \bigcup ℳ)\iff (\mathrm{\exists }B\in ℳ)(x\in B)\}$(MP with 并集公理, A4) (3) $(\mathrm{\forall }A)(\mathrm{\forall }B)(\mathrm{\forall }x)\{(x\in A\cap B)\iff [(x\in A)\wedge (x\in B)]\}$(有限交集) (4)$(x\in \bigcup {ℳ}_A)\iff (\mathrm{\exists }B)[(B\in {ℳ}_A)\wedge (x\in B)]$(MP with A4, 2) (5) $(B\in {ℳ}_A)\iff (\mathrm{\exists }M\in ℳ)(B=M\cap A)$(MP with A4, 1) (6) $(x\in \bigcup {ℳ}_A)\iff (\mathrm{\exists }B)[(x\in B)\wedge (\mathrm{\exists }M\in ℳ)(B=M\cap A)]$(Equv with 4, 5) (7)$(x\in \bigcup {ℳ}_A)\iff (\mathrm{\exists }B)(\mathrm{\exists }M)[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]$(Equv with Ce, 6) (8)$(x\in \bigcup {ℳ}_A)\iff (\mathrm{\exists }M)(\mathrm{\exists }B)[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]$(Equv with 量詞可交換性 ,7) (9) $(B=M\cap A)\Rightarrow \{[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]\Rightarrow [(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)\wedge (M\cap A=M\cap A)]\}$(E2) (10)$[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]\Rightarrow (B=M\cap A)$(AND) (11)$[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]$$\Rightarrow \{[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]\Rightarrow [(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)\wedge (M\cap A=M\cap A)]\}$(D1 with 9,10) (12)$\{[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]\Rightarrow [(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]\}$ $\Rightarrow \{[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]\Rightarrow [(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)\wedge (M\cap A=M\cap A)]\}$(MP with A2, 11) (13)$[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]\Rightarrow [(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]$(I) (14)$[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]\Rightarrow [(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)\wedge (M\cap A=M\cap A)]$(MP with 12, 13) (15)$[(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)\wedge (M\cap A=M\cap A)]\Rightarrow [(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)]$(AND) (16)$[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]\Rightarrow [(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)]$(D1 with 14,15) (17)$(\mathrm{\exists }M)(\mathrm{\exists }B)[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]\Rightarrow (\mathrm{\exists }M)[(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)]$(GENe with $B$ then $M$) (18)$M\cap A=M\cap A$ (E1) 注意到配合(AND)和演繹定理有 $𝒫⊢ℛ\Rightarrow (ℛ\wedge 𝒫)$(a) (19)$[(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)]\Rightarrow [(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)\wedge (M\cap A=M\cap A)]$(a with 18) (20)$(\mathrm{\forall }B)\{\mathrm{\neg }[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]\}\Rightarrow \{\mathrm{\neg }[(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)\wedge (M\cap A=M\cap A)]\}$(A4) (21)$[(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)\wedge (M\cap A=M\cap A)]\Rightarrow (\mathrm{\exists }B)[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]$(MP with T, 20) (22)$[(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)]\Rightarrow (\mathrm{\exists }B)[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]$(D1 with 19, 21) (23)$(\mathrm{\exists }M)[(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)]\Rightarrow (\mathrm{\exists }M)(\mathrm{\exists }B)[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]$(GENe with $M$) (24)$(\mathrm{\exists }M)(\mathrm{\exists }B)[(x\in B)\wedge (M\in ℳ)\wedge (B=M\cap A)]\iff (\mathrm{\exists }M)[(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)]$(AND with 17, 23) (25)$(x\in \bigcup {ℳ}_A)\iff (\mathrm{\exists }M)[(x\in M\cap A)\wedge (M\in ℳ)]$(Equv with 8, 24) (26) $(x\in M\cap A)\iff [(x\in M)\wedge (x\in A)]$(MP with A4, 3) (27)$(x\in \bigcup {ℳ}_A)\iff (\mathrm{\exists }M)[(x\in M)\wedge (x\in A)\wedge (M\in ℳ)]$(Equv with 25, 26) (28)$(x\in \bigcup {ℳ}_A)\iff \{(\mathrm{\exists }M)[(x\in M)\wedge (M\in ℳ)]\wedge (x\in A)\}$(Equv with Ce, 27) (30) $(x\in \bigcup ℳ)\iff (\mathrm{\exists }M\in ℳ)(x\in M)$(MP with A4, 2) (31)$(x\in \bigcup {ℳ}_A)\iff [(x\in \bigcup ℳ)\wedge (x\in A)]$(Equv with 28, 30) (32)$[x\in A\cap (\bigcup ℳ)]\iff [(x\in A)\wedge (x\in \bigcup ℳ)]$(MP with A4, 3) (33)$[x\in A\cap (\bigcup ℳ)]\iff (x\in \bigcup {ℳ}_A)$(Equv with 31, 32) (34)$(\mathrm{\forall }x)\{[x\in A\cap (\bigcup ℳ)]\iff (x\in \bigcup {ℳ}_A)\}$(GEN with $x$, 33)

直觀上這個定理說，交集在「无限并集满足分配律」，一般會不正式的寫為

$\bigcup _{i\in I}(A\cap B_i)=A\cap \bigcup _{i\in I}{B}_i$

這個定理一般會被不正式的寫為

$\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\bigcap _{j=i}^{\mathrm{\infty }}{A}_j\right)\subseteq \bigcap _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\bigcup _{j=i}^{\mathrm{\infty }}{A}_j\right)$。

参考

• 朴素集合论
• 交集
• 补集
• 对称差
• 不交并
• 布尔逻辑