Σ-代数

Template:Lowercase Template:NoteTA 在數學中，某個集合 X 上的 σ-代数（Template:Lang-en）又叫 σ-域（Template:Lang-en），是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。这个子集族对于補集运算和可數個聯集运算具有封闭性（因此对于可數個交集运算也是封闭的）。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。

动机

σ-代数的提出有至少三个作用：定义测度，操作集合的极限，以及管理集合所表示的部分信息。

测度

测度是给$X$的子集赋予非负实数值的函数；可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲，若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和，即使有无穷多个这样的不交集。

定义

Template:Math theorem 注意到定義第3條的$𝒜\cong \mathbb{N}$，意思是 $𝒜$ 和自然数系 $\mathbb{N}$ 等势，直觀的意思就是 $𝒜$ 裡的元素跟自然數一樣多。

以上定義的直觀意義為：一群 $X$ 的子集合所組成的集合 $ℱ$ ，为 $X$ 上的一个 σ-代数意思是滿足：

• $X$ 本身就是 $ℱ$ 的元素；
• 如果集合 $A$ 在 $ℱ$ 中，那么它的补集 $X-A$ 也在$ℱ$中；
• 如果有可數个集合 $A_1,A_2,\cdots$ 都在 $ℱ$ 中，那么它们的聯集也在$ℱ$ 中。

在測度論裡有序对 $(X,ℱ)$ 會被称为一个可测空间。而任何在 $ℱ$ 中的子集 $A$，則称为可测集合（measurable set）；而在概率论中， $ℱ$ 被稱為事件族（family of events）， $ℱ$ 中的子集 $A$ 則称为事件。

例子

• $X$上最小的σ-代数是$\{\varnothing ,X\}$。
• $X$上最大的σ-代数是$X$的冪集$𝒫(X)$（也就是所有 $X$ 的子集合所組成的集合）

最小σ-代数

證明

根據 $\sigma (ℱ)$ 的定義（嚴謹來說，依據分類公理所新增的公理），對所有集合 $A$ 有： $A\in \sigma (ℱ)\iff (\mathrm{\forall }\mathrm{\Sigma })\{[(\mathrm{\Sigma }\text{ is a algebra of }X)\wedge (ℱ\subseteq \mathrm{\Sigma })]\Rightarrow (A\in \mathrm{\Sigma })\}$ (a) 以下將逐條檢驗σ代数的定義，來驗證 $\sigma (ℱ)$ 的確是 $X$ 的σ代数： (1) $X\in \sigma (ℱ)$ 對所有的集合族 $\mathrm{\Sigma }$ 來說，只要 $\mathrm{\Sigma }$ 是σ代数，按照定義理當有 $X\in \mathrm{\Sigma }$ ，所以由式(a)的右方的確可以得出 $X\in \sigma (ℱ)$ 。 (2)若 $A\in \mathrm{\Sigma }$ ，則 $X-A$ 也在 $\sigma (ℱ)$ 中 若 $A\in \mathrm{\Sigma }$ ，那根據式(a)，對所有的集合族 $\mathrm{\Sigma }$ 來說，只要 $\mathrm{\Sigma }$ 是σ代数 且$ℱ\subseteq \mathrm{\Sigma }$，理當有 $A\in \mathrm{\Sigma }$，所以對所有 $\mathrm{\Sigma }$ 只要滿足這兩個條件，理當有 $X-A\in \mathrm{\Sigma }$，所以由式(a)的右方的確有： $(\mathrm{\forall }A)\{[A\in \sigma (ℱ)]\Rightarrow [X-A\in \sigma (ℱ)]\}$ (3)可數個并集也在 $\sigma (ℱ)$ 中 若 $\{A_1,A_2,\dots \}\subseteq \sigma (ℱ)$ ，由式(a)，只要 $\mathrm{\Sigma }$ 滿足(a)左方的兩個條件，就有 $\{A_1,A_2,\dots \}\subseteq \mathrm{\Sigma }$ ，所以： $\bigcup \{A_1,A_2,\dots \}\in \mathrm{\Sigma }$ 所以再從(a)右方，就可以得到： $\bigcup \{A_1,A_2,\dots \}\in \sigma (ℱ)$ 綜上所述， $\sigma (ℱ)$ 的確是 $X$ 的σ代数。$◻$

根據以上的定理，可以做以下的定義：

例子

• 设集合$X=\{a,b,c,d\}$，那么$\sigma (\{\{a\}\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b,c,d\},X\}$ 是集合$X$上含有 $\{a\}$ 的σ-代数中最「小」的一个。

性质

σ-代数是一个代数也是一个λ系，它对集合的交集、聯集、差集、可數交集、可數聯集运算都是封闭的。