交集

在集合论和数学中，两个集合$A$和$B$的交集（Intersection）是含有所有既属于$A$又属于$B$的元素，而没有其他元素的集合。

有限交集

A和$B$的交集

交集是由公理化集合论的分類公理來確保其唯一存在的特定集合 $A\cap B$ ：

$(\mathrm{\forall }A)(\mathrm{\forall }B)(\mathrm{\forall }x)\{(x\in A\cap B)\iff [(x\in A)\wedge (x\in B)]\}$

也就是直觀上：

$A$和$B$的交集写作「$A\cap B$」，「對所有 $x$ ， $x\in A\cap B$ 等價於 $x\in A$ 且 $x\in B$」

例如：集合$\{1,2,3\}$和$\{2,3,4\}$的交集为$\{2,3\}$。数字$9$不属于素数集合$\{2,3,5,7,11,\dots \}$和奇数集合$\{1,3,5,7,9,11,\dots \}$的交集。

若两个集合$A$和$B$的交集为空，就是说它们彼此没有-{zh-hans:公共元素; zh-tw:相同的元素;}-，则他们不相交，写作：$A\cap B=\varnothing$。例如集合$\{1,2\}$和$\{3,4\}$不相交，写作$\{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing$。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合$A,B$，$C$和$D$的交集为$A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))$。交集运算满足结合律。即：

$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

任意交集

以上定義可根據无限并集和补集來推廣到任意集合的交集。

取一个集合 $ℳ$ ，則根據分類公理可以取以下唯一存在的集合：

$\overline{ℳ}:=\{A|(\mathrm{\exists }M\in ℳ)(A=M^c)\}$。

也就是直觀上蒐集所有 $M^c$ 的集合， 這樣的話有：

$x\in \bigcup \overline{ℳ}\iff (\mathrm{\exists }A)[(x\in A)\wedge (\mathrm{\exists }M\in ℳ)(A=M^c)]$

根據一阶逻辑的定理(Ce)，也就是：

$x\in \bigcup \overline{ℳ}\iff (\mathrm{\exists }M)[(M\in ℳ)\wedge (x\notin M)\wedge (\mathrm{\exists }A)(A=M^c)]$

但根據一阶逻辑的等式相關定理，下式：

$(\mathrm{\exists }A)(A=M^c)$

顯然是個定理（也就是直觀上為真），故：

$x\in \bigcup \overline{ℳ}\iff (\mathrm{\exists }M\in ℳ)(x\notin M)$

換句話說：

$x\in {(\bigcup \overline{ℳ})}^c\iff (\mathrm{\forall }M\in ℳ)(x\in M)$

那可以做如下的符號定義：

$\bigcap ℳ:={(\bigcup \overline{ℳ})}^c$

稱為 $ℳ$ 的任意交集或无限交集。也就是直觀上「對所有 $x$ ， $x\in \bigcap ℳ$ 等價於對任何 $ℳ$ 的下屬集合 $M$ ，都有 $x\in M$」

例如：

$A\cap B=\bigcap \{A,B\}$

類似於无限并集，无限交集的表示符號也有多種

可模仿求和符号記為

$\bigcap _{A\in ℳ}A$。

但大多數人會假設指标集 $I$ 的存在，換句話說

若 $I\stackrel{A}{\cong }ℳ$ 則 $\bigcap _{i\in I}A(i):=\bigcap ℳ$

在指标集 $I$ 是自然数系 $\mathbb{N}$ 的情况下，更可以仿无穷级数來表示，也就是說：

若 $\mathbb{N}\stackrel{A}{\cong }ℳ$ 則 $\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}A(i):=\bigcap ℳ$

也可以更粗略直觀的將 $\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}A(i)$ 写作$A_1\cap A_2\cap A_3\cap \dots$。

参见

• 朴素集合论
• 并集
• 补集
• 对称差