伴随矩阵

Template:NoteTA Template:About Template:ScienceNavigation 在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵（Template:Lang-en）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

$𝐀$的伴随矩阵记作$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)$，或${𝐀}^{*}$。

定义

Template:See also 设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

• 定义：A关于第i行第j列的余子式（记作M_ij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。
• 定义：A关于第i行第j列的代数余子式是：

${𝐂}_{ij}=(-1{)}^{i+j}{𝐌}_{ij}$。

• 定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。

引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)={𝐂}^T$，

也就是说，A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵（记作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。 简言之，伴随矩阵就是把原来余子矩阵C每一列的代数余子式横着写：

${[\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)]}_{ij}={𝐂}_{ji}$。

例子

2x2矩阵

一个$2\times 2$矩阵$𝐀=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$的伴随矩阵是

$\mathrm{adj}(𝐀)=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

3x3矩阵

对于$3\times 3$的矩阵，情况稍微复杂一点：

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$

其伴随矩阵是：

$\mathrm{adj}(𝐀)={\left[\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\end{array}\right]}^T$

其中

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{im}& a_{in}\\ a_{jm}& a_{jn}\end{array}\right|=\det \left[\begin{array}{cc}{a}_{im}& a_{in}\\ a_{jm}& a_{jn}\end{array}\right]=\det \left|\begin{array}{cc}{a}_{im}& a_{in}\\ a_{jm}& a_{jn}\end{array}\right|$

要注意伴随矩阵是餘因子矩陣的转置，因此第3行第2列的系数是A关于第2行第3列的代数余子式。

具体情况

对于数值矩阵， 例如求矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 2& -5\\ -1& 0& -2\\ 3& -4& 1\end{array}\right]$ 的伴随矩阵$\mathrm{adj}(A)$，

只需将数值代入上节得到的表达式中。

即：$\mathrm{adj}(A{)}_{ji}=C_{ij}=(-1{)}^{i+j}(M_{ij})$。

其中，$M_{ij}$為刪掉矩陣 $A$ 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式，$C_{ji}$為矩陣 $A$ 的餘因子。

例如：$\mathrm{adj}(A)$中第3行第2列的元素为

$\mathrm{adj}(A{)}_{32}=C_{23}=(-1{)}^{2+3}\det \left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 3& -4\end{array}\right]=-((-3)\cdot (-4)-2\cdot 3)=-6$

依照其順序一一計算，便可得到计算后的结果是：

$\mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}\left[\begin{array}{ccc}-3& 2& -5\\ -1& 0& -2\\ 3& -4& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-8& 18& -4\\ -5& 12& -1\\ 4& -6& 2\end{array}\right]$

应用

作为拉普拉斯公式的推论，关于n×n矩阵A的行列式，有：

$𝐀\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)𝐀=\det (𝐀)𝐈(*)$

其中I是n阶的单位矩阵。事实上，A adj(A)的第i行第i列的系数是

$\sum _{j=1}^n{a}_{i;j}{C}_{i,j}$。根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。

如果i ≠ j，那么A adj(A)的第i行第j列的系数是

$\sum _{k=1}^n{a}_{i;k}{C}_{j,k}$。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。

由这个公式可以推出一个重要结论：交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。

这是因为如果A可逆，那么

$1=\det (𝐈)=\det (𝐀{𝐀}^{-1})=\det (𝐀)\det ({𝐀}^{-1})$，

如果det(A)是环中的可逆元那么公式（*）表明

${𝐀}^{-1}=\det (𝐀{)}^{-1}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)$

性质

对$n\times n$的矩阵A和B，有：

1. $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐈)=𝐈$，
2. $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀𝐁)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐁)\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)$，
3. $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}({𝐀}^T)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀{)}^T$，
4. $\det (\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀))=\det (𝐀{)}^{n-1}$，
5. $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(k𝐀)=k^{n-1}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)$
6. 当n>=2时，$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀))=(\det 𝐀{)}^{n-2}𝐀$
7. 如果A可逆，那么$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}({𝐀}^{-1})=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀{)}^{-1}=\frac{A}{\det A}$
8. 如果A是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，那么当n为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n为奇数时则是对称矩阵。
9. 如果A是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。
10. 如果矩阵A和B相似，那么$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)$和$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐁)$也相似。
11. 如果n>2，那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)=\pm A^T$

伴随矩阵的秩

当矩阵A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是n。当矩阵A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时，其伴随矩阵的秩为1，当A的秩小于n-1时，其伴随矩阵为零矩阵。

伴随矩阵的特征值

设矩阵A在复域中的特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$(即为特征多项式的n个根），则A的伴随矩阵的特征值为

${\lambda }_2{\lambda }_3\cdots {\lambda }_n,{\lambda }_1{\lambda }_3\cdots {\lambda }_n,\cdots ,{\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_{n-1}$。

Template:HideH 这里要用到一个结论作为引理：一个n阶矩阵的n个特征值的和等于它的迹数，它们的乘积等于矩阵的行列式。

分3种情况讨论：

• 如果A的秩为n，即是说A可逆，那么由引理有：$\det A={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$。只需证明A的伴随矩阵的特征值为$\frac{\det A}{{\lambda }_1},\frac{\det A}{{\lambda }_2},\cdots ,\frac{\det A}{{\lambda }_n}$。考察矩阵$X𝐈-\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)$：

$\det (X𝐈-\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀))$

$=\det (X𝐈-\det 𝐀\cdot {𝐀}^{-1})$

$=\det {𝐀}^{-1}\cdot \det (X𝐀-\det 𝐀\cdot 𝐈)$ $=\frac{1}{\det 𝐀}\cdot X^n\cdot \det (𝐀-\frac{\det 𝐀}{X}𝐈)$

由于$\det (𝐀-X𝐈)=\prod _{i=1}^n({\lambda }_i-X)$，因此

$\det (𝐀-\frac{\det 𝐀}{X}𝐈)$

$=\prod _{i=1}^n({\lambda }_i-\frac{\det 𝐀}{X})$

$=\frac{1}{X^n}\prod _{i=1}^n({\lambda }_{i}X-\det 𝐀)$

因此

$\det (X𝐈-\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀))$

$=\frac{1}{\det 𝐀}\cdot X^n\cdot \frac{1}{X^n}\prod _{i=1}^n({\lambda }_{i}X-\det 𝐀)$

$=\frac{1}{\det 𝐀}\cdot {\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n\prod _{i=1}^n(X-\frac{\det A}{{\lambda }_i})$

$=\prod _{i=1}^n(X-\frac{\det A}{{\lambda }_i})$

可以看到$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)$的特征多项式为$\prod _{i=1}^n(X-\frac{\det A}{{\lambda }_i})$，因此命题成立。

• 如果A的秩严格小于n-1，即是说A至少有两个特征值为0，于是

${\lambda }_2{\lambda }_3\cdots {\lambda }_n,{\lambda }_1{\lambda }_3\cdots {\lambda }_n,\cdots ,{\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_{n-1}$

全部都是0。这时A的伴随矩阵为0，因此特征值也全是0。命题成立。

• 如果A的秩等于n-1，即是说A至少有一个特征值为0，不妨设其为${\lambda }_1$。由于这时A的伴随矩阵秩为1，它至少有n-1个特征值为0。设剩余的一个为$\alpha$，则其迹数为$\alpha$。另一方面，A的伴随矩阵的迹数为

$C_{11}+C_{22}+\cdots +C_{nn}$

这个和恰好等于$\sum _{i=1}^n\prod _{k\ne i}{\lambda }_k$，即等于${\lambda }_2{\lambda }_3\cdots {\lambda }_n$（其余都是0）。

综上所述，对任意的矩阵A，命题都成立。 Template:HideF

伴随矩阵和特征多项式

设 $p(t)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(𝐀-t𝐈)$ 为$𝐀$的特征多项式，定义$q(t)=\frac{p(0)-p(t)}{t}$，那么：

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)=q(𝐀)=-(p_1𝐈+p_2𝐀+p_3{𝐀}^2+\cdots +p_n{𝐀}^{n-1})$,

其中$p_i$是$p(t)$的各项系数：

$p(t)=p_0+p_{1}t+p_2{t}^2+\cdots p_n{t}^n$。

伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。

参见

• 逆矩阵
• 可逆元
• 余子矩阵
• 行列式

参考来源

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外部链接

• 矩阵论参考手册 (英文)Template:Wayback