餘因子矩陣

Template:NoteTA Template:ScienceNavigation 在線性代數中，餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構，餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式。

定義

對一個 $n\times n$ 矩陣 $A$，在 $(i,j)$ 的子行列式（余子式） $M_{ij}$ 定義為刪掉 $A$ 的第 i 橫-{zh-hans:行;zh-hant:列}-與第 j 縱-{zh-hant:行;zh-hans:列}-後得到的行列式。令 $C_{ij}:=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$，稱為 $A$ 在 $(i,j)$ 的餘因子（代数余子式）。矩陣 $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(A):=(C_{ij}{)}_{i,j}$ 稱作 $A$ 的餘因子矩陣（余子矩阵）。餘因子矩陣的轉置稱為伴隨矩陣，記為 $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)$。

範例

考慮三階方陣

$B=\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]$

今將計算餘因子 $C_{23}$。子行列式 $M_{23}$ 是下述矩陣（在 $B$ 中去掉第 2 橫行與第 3 縱列）之行列式：

$M_{23}=\left|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& ◻\\ ◻& ◻& ◻\\ b_{31}& b_{32}& ◻\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{31}& b_{32}\end{array}\right|=b_{11}{b}_{32}-b_{31}{b}_{12}$

根據定義得到

$C_{23}=(-1{)}^{2+3}(M_{23})$

$C_{23}=(-1{)}^5(b_{11}{b}_{32}-b_{31}{b}_{12})$

$C_{23}=b_{31}{b}_{12}-b_{11}{b}_{32}.$

餘因子分解

對一 $n\times n$ 矩陣：

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$

其行列式 $\det A$ 可以用餘因子表示：

$\det (A)=a_{1j}{C}_{1j}+a_{2j}{C}_{2j}+a_{3j}{C}_{3j}+...+a_{nj}{C}_{nj}$

（對第 j 縱行的餘因子分解）

$\det (A)=a_{i1}{C}_{i1}+a_{i2}{C}_{i2}+a_{i3}{C}_{i3}+...+a_{in}{C}_{in}$

（對第 i 橫列的餘因子分解）

古典伴隨矩陣

「古典伴隨矩陣」(classical adjoint matrix) 是餘因子矩陣的「轉置矩陣」，它與逆矩陣的計算有極大的關係。

$A^{-1}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)}{\det (A)}$

將餘因子矩陣

$\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{12}& \cdots & C_{1n}\\ C_{21}& C_{22}& \cdots & C_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{n1}& C_{n2}& \cdots & C_{nn}\end{array}\right]$

轉置之後，會得到「古典伴隨矩陣」：

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)=\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{21}& \cdots & C_{n1}\\ C_{12}& C_{22}& \cdots & C_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{1n}& C_{2n}& \cdots & C_{nn}\end{array}\right]$

克萊姆法則

克萊姆法則可以用餘因子寫成下述簡鍊的形式：

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(A{)}^{t}A=A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(A{)}^t=\det (A)I_n$

當 $\det A\ne 0$ 時，$A$ 的逆矩陣由下式給出：

$A^{-1}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(A{)}^t}{\det A}$

此即線性方程組理論中的克萊姆法則。

文獻

• Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8

外部連結

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• PlanetMath