勒贝格测度

在测度论中，勒贝格测度（Lebesgue measure）是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1，2，3的情况，勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集；勒贝格可测集 Template:Math 的测度记作 Template:Math 。一般來說，我們允許一个集合的勒贝格测度为 Template:Math ，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Template:Math 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。

勒贝格测度以法国数学家昂利·勒贝格命名。勒贝格于1901年首次提出这一测度，次年又给出勒贝格积分的定义，并收录进他的学位论文中。

问题起源

人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。

我们想构造一个映射 Template:Math ，它能将实数集的子集 Template:Math 映射到非负实数 Template:Math ，並称这個数为集合 Template:Math 的测度。最理想的情况下，Template:Math 应该具有以下性质：

Template:Math 对于实数集的所有子集 Template:Math 都有定义。
对于一个区间 Template:Math，Template:Math 应当等于其长度 Template:Math。
Template:Math 具有可数可加性。如果 Template:Math 是一列不相交的集合，并且 Template:Math 在其上有定义，那么 $m (⋃_{n} E_{n}) = \sum_{n} m (E_{n})$ ，其中 Template:Math 表示聯集。
Template:Math 具有平移不变性。設集合 Template:Math 及 Template:Math（即將 Template:Math 的每個元素各加上同一個實數 Template:Math 所得到的集合），則 Template:Math 。

遗憾的是，这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度，它只满足有限可加性。

定义

区间 $I = [a, b]$ 的长度定义为 $| I | = b - a$ 。对 $E \subseteq ℝ$ ，勒贝格外测度定义为

对每一列能覆盖 $E$ 的开区间 ${I_{k}}_{k \in ℕ}$ ，作长度和 $μ = \sum_{k = 0}^{\infty} | I_{k} |$ 。所有这些 $μ$ 组成一个有下界的数集，下确界称为勒贝格外测度，记做 $λ^{*} (E)$ 。

勒贝格测度定义在勒贝格σ代数上。若集合 $E$ 滿足：

對所有

A \subseteq ℝ

，皆有

λ^{*} (A) = λ^{*} (A \cap E) + λ^{*} (A \cap E^{c}),

則 $E$ 為勒贝格σ代数的元素，稱為勒貝格可測集。对勒贝格可测集，其勒贝格测度 $λ (E)$ 就定義為勒贝格外测度 $λ^{*} (E)$ 。

不在勒贝格σ代数中的集合不是勒贝格可测的，这样的集合确实存在，故勒贝格σ代数严格包含于 $ℝ$ 的幂集。

例子

任何区间都是勒贝格可测的。闭区间 $[a, b]$ 、开区间 $(a, b)$ 的勒贝格测度都等于区间长度 $b - a$ 。
如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b−a)(d−c)。
博雷尔集都是勒贝格可测的。反之不然，存在不是博雷尔集的勒贝格可测集。
可数集的勒贝格测度为0。特别是，有理数集的勒贝格测度为0，尽管有理数集是稠密的。
康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。
假设决定性公理成立，则实数集的所有子集都是勒贝格可测的。假设选择公理成立，则可以构造出勒贝格不可测的集合，例如维塔利集。决定性公理与选择公理是不相容的。
奥斯古德曲线（Osgood curve）是平面简单曲线，但具有大于0的勒贝格测度。龙形曲线是另一个例子。

性质

設集合 Template:Math 与 Template:Math 是在 Template:Math 上的集合。勒贝格测度有如下的性质：

如果 Template:Math 是一列区间 Template:Math 的笛卡爾積 $\prod_{n} I_{n}$ ，則 Template:Math 是勒贝格可测的，并且 $λ (A) = \prod_{n} | I_{n} |$ ，其中 Template:Math 表示区间 Template:Math 的长度。
如果 Template:Math 是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集 Template:Math 的并集，则 Template:Math 也是勒贝格可测的，并且 $λ (A) = \sum_{n} λ (E_{n})$ 。
如果 Template:Math 是勒贝格可测的，那么它相对于 $ℝ^{n}$ 的补集也是可测的。
对于每个勒贝格可测集 Template:Math ， $λ (A) \geq 0$ 。
如果 Template:Math 與 Template:Math 是勒贝格可测的，且 Template:Math ，則 $λ (A) \leq λ (B)$ 。
可数多个勒贝格可测集的交集或者并集，仍然是勒贝格可测的。
$ℝ^{n}$ 上的博雷爾集（即由開集經可數多次交、並、差運算得到的集合）都是勒贝格可测的。^[1]^[2]
勒贝格可测集“几乎”是开集，也“几乎”是闭集。具体来说， $E$ 是勒贝格可测集当且仅当对任意的 $ε > 0$ 存在开集 $G$ 与闭集 $F$ 使得 $F \subset E \subset G$ 且 $λ (G ∖ F) < ε$ 。此性质曾用来定义勒贝格可测性。（见勒贝格测度的正则性定理）
勒贝格测度既是局部有限的，又是内正则的，所以是拉东测度。
非空开集的勒贝格测度严格大于0，所以勒贝格测度的支集是全空间 $ℝ^{n}$ 。
如果 Template:Math 是勒贝格零测集，即 $λ (A) = 0$ ，则 Template:Math 的任何一个子集也是勒贝格零测集。
如果 Template:Math 是勒贝格可测的，且 Template:Math（即將 Template:Math 平移 Template:Math 個單位），則 Template:Math 也是勒贝格可测的，并且 $λ (B) = λ (A)$ 。
如果 Template:Math 是勒贝格可测的，且 Template:Math（即將 Template:Math 縮放 Template:Math 倍， $k > 0$ ），則 Template:Math 也是勒贝格可测的，并且 $λ (B) = k^{n} \cdot λ (A)$ 。
更一般地，设 Template:Math 是一个线性变换，Template:Math 為其行列式。如果 Template:Math 是勒贝格可测的，则 Template:Math 也是勒贝格可测的，并且 $λ (T (A)) = | \det (T) | λ (A)$ 。
設 Template:Math 是一个從 Template:Math 到 $ℝ^{n}$ 上的连续单射函数。如果 Template:Math 是勒贝格可测的，则 Template:Math 也是勒贝格可测的。

简要地说， $ℝ^{n}$ 的勒贝格可测子集组成一个包含所有区间的笛卡尔积的σ-代数，且 Template:Math 是其上唯一的完备的、平移不变的、满足 $λ ([0, 1] \times [0, 1] \times \dots \times [0, 1]) = 1$ 的测度。

勒贝格测度是σ-有限测度。

零测集

Template:Main $ℝ^{n}$ 的子集 A 是零测集，如果对于任意 $ε > 0$ ，A 都可以用可数多个盒（即 n 個区间的乘积）来覆盖，且其总体积最多为 $ε$ 。所有可数集都是零测集。

如果 $ℝ^{n}$ 的子集的豪斯多夫维数小于 $n$ ，那么它是关于 $n$ 维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数是相对于 $ℝ^{n}$ 上的欧几里得度量（或任何与其利普希茨等价的度量）而言。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于 $n$ ，但具有正的 $n$ 维勒贝格测度。一个这样的例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。

为了证明某个集合A是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B，与A 的对称差是零测集，然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。