外测度

在数学中，特别是测度论中，外测度是一个定义在给定集合上的扩展实数值的函数，并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进，目的是给可测集和可数可加测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上（例如外测度用于证明Carathéodory扩张定理）。豪斯多夫也用此来定义一个类似维数的度量，现在称为豪斯多夫维数。

从长度，面积及体积归纳出來的测度概念，对于很多抽象不规则的集合是很有用的。我们希望定义一个广义的测度函数$\phi$,使其滿足以下4个条件：

1. 任意实数区间 $[a,b]$有测度$b-a$；
2. 測度函數 $\phi$是非負扩展实数值函數，定义在$ℝ$的所有子集合上；
3. 平移不变性：任给集合$A$和实数$x$，$A$与$A+x$ 有相同的测度(这里，$A+x=\{a+x:a\in A\}$）；
4. 可数可加律：对$X$的任意的两两无交的子集序列$\{A_j\}$，有：

$\phi \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\phi (A_i)$。

事实上，这几条要求是不相容的。这样的測度函數 $\phi$不能定义在$ℝ$的所有子集上，也就是说，不可测集是存在的。构造外测度的目的就是选出那些可测集合，使得可数可加性得到满足。

定義

外測度是从 $X$ 的冪集合映到 $[0,\mathrm{\infty }]$的函數

$\phi :2^X\to [0,\mathrm{\infty }]$

且滿足以下條件：

• 空集合的外測度為零：

$\phi (\varnothing )=0$

• 单调性：

$A\subseteq B\Rightarrow \phi (A)\le \phi (B)$

• 次可加性: 对 X 的任意子集序列 $\{A_j\}$（不管兩兩交集是否空集合）

$\phi \left(\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_j\right)\le \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\phi (A_j)$

接著可以借由外測度來定义 X 中的可測集合：子集合 $E\subseteq X$ 是 $\phi$-可测的，当且仅当对 $X$ 的任意子集合 $A$ 有：

$\phi (A)=\phi (A\cap E)+\phi (A\cap E^c).$

所有的 $\phi$-可测集合构成了一个$\sigma$-代数 ，且如果 $\phi$限制在我們剛定義的可测集合上時，$\phi$ 會有可数可加的完备测度性質。这个方法是Carathéodory构造出来的，是构造勒贝格测度和积分理论的重要方法。

外測度与拓撲學

假設 $(X,d)$是一個度量空間且 $\phi$是一個在 $X$之上的外測度。若 $\phi$有以下性質 ：

只要

$d(E,F)=\inf \{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,$

就有

$\phi (E\cup F)=\phi (E)+\phi (F)$

那么称$\phi$是一个度量外测度。

如果$\phi$是$X$上的度量外测度，那么$X$的每个Borel子集都是$\phi$-可测的。

外測度的构造

有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。

令$X$为一集合，$C$是$X$的包含空集的子集族，$p$是$C$上的非负扩展实数值函数，且$p$ 在空集处取零。

那么定义

$\phi (E)=\inf \{\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}p(A_i)|E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_i,\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N},A_i\in C\}$

则$\phi$是一个外测度。

另一种方法在度量空间上更有效，因为它直接得到了度量外测度。设 $(X,d)$是一个度量空间，$C$是$X$的包含空集的子集族，$p$是$C$上的非负扩展实数值函数，且$p$在空集处取零。那么，对任意$\delta >0$，令

$C_{\delta }=\{A\in C:\mathrm{diam}(A)\le \delta \}$

及

${\phi }_{\delta }(E)=\inf \{\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}p(A_i)|E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_i,\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N},A_i\in C_{\delta }\}.$

对$\delta \le {\delta }^{\prime }$有${\phi }_{\delta }\ge {\phi }_{{\delta }^{\prime }}$ 成立，因为$\delta$减小时，下确界是在更小的集合上取得的。所以

$\underset{\delta \to 0}{\lim }{\phi }_{\delta }(E)={\phi }_0(E)\in [0,\mathrm{\infty }]$

存在（可能是无穷大）。

这样构造的${\phi }_0$是一个度量外测度。这个构造也就是定义豪斯多夫维数时用的外测度。

參考

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950

• M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953