方块矩阵

Template:NoteTA Template:ScienceNavigation 方塊矩陣，也称方阵、方矩陣或正方矩陣，是行數及列數皆相同的矩陣。由$n\times n$矩陣組成的集合，連同矩陣加法和矩陣乘法，构成環。除了$n=1$，此環並不是交换環。

M(n, R)，即實方塊矩陣環，是個實有单位的結合代數。M(n, C)，即複方塊矩陣環，則是複結合代數。

單位矩陣$I_n$的對角線全是1而其他位置全是0，對所有$m\times n$矩陣$M$及$n\times k$矩陣$N$都有$M{I}_n=M$及$I_{n}N=N$。 例如，若$n=3$：

$I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

單位矩陣是方塊矩陣環的單位元。

方塊矩陣環的可逆元稱為可逆矩陣或非奇异方阵。$n\times n$矩陣$A$是可逆當且僅當存在矩陣$B$使得

$AB=I_n(=BA)$。

此時$B$稱為$A$的逆矩陣，並記作$A^{-1}$。 所有$n\times n$矩陣在乘法上組成一個群（亦是一個李群），稱為一般線性群。

若數字$\lambda$和非零向量$\overrightarrow{v}$满足$A\overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{v}$，則$\overrightarrow{v}$為$A$的一個特征向量，$\lambda$是其對應的特征值。數字$\lambda$為$A$的特征值當且僅當$A-\lambda I_n$可逆，又當且僅當$p_A(\lambda )=0$。這裏，$p_A(x)$是$A$的特征多項式。特征多項式是一個$n$次多項式，有$n$个复根（考虑重根），即$A$有$n$個特征值。

方塊矩陣$A$的行列式是其$n$個特征值的積，但亦可經由莱布尼茨公式計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣。

高斯-若爾當消元法非常重要，可以用来計算矩阵的行列式，秩，逆矩陣，并解決線性方程組。

矩陣的迹是$n\times n$矩陣的对角线元素之和，也是其$n$個特征值之和。

所有正交矩阵都是方块矩阵。

方块矩阵的等价命题

线性代数中，下列关于方块矩阵A的命题是等价的（同时成立，或同时不成立）：

1. A 可逆 ； A的反矩陣存在。
2. det(A) ≠ 0 。
3. rank(A) = n 。
4. Null(A) = 0 。
5. A的特征值中没有0。
6. 对任意b属于Fⁿ，Ax = b有唯一解。
7. Ax = 0只有平凡解。
8. A^TA可逆。
9. A与单位矩阵行（列）等价。
10. A的行向量或列向量張成Fⁿ 。
11. A的零空间只有零向量。
12. A的值域為Fⁿ 。
13. A的行（列）向量构成Fⁿ (Fⁿ)中向量的线性无关集。

这裡，F为矩阵元素所属的域。通常，这个域为实数域或复数域。