矩陣加法

在數學裡，矩陣加法一般是指兩個矩陣把其相對應元素加在一起的運算。但有另一運算也可以認為是一種矩陣的加法。

個別元素相加（減）

通常的矩陣加法被定義在兩個相同大小的矩陣。兩個m×n矩陣A和B的和，標記為A+B，一樣是個m×n矩陣，其內的各元素為其相對應元素相加後的值。例如：

[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 7 & 0 + 5 \\ 1 + 2 & 2 + 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 3 \\ 8 & 5 \\ 3 & 3 \end{matrix}]

也可以做矩陣的減法，只要其大小相同的話。A-B內的各元素為其相對應元素相減後的值，且此矩陣會和A、B有相同大小。例如：

[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 - 0 & 3 - 0 \\ 1 - 7 & 0 - 5 \\ 1 - 2 & 2 - 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 6 & - 5 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]

另一種運算為直和。直和可以由任何一對矩陣形成，其定義為：

A \oplus B = [\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & b_{11} & \dots & b_{1 q} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & b_{p 1} & \dots & b_{p q} \end{matrix}]

舉例來說：

[\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix}] \oplus [\begin{matrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

在任兩個向量空間內取定基底，並取兩基底的聯集為向量空間直和的基底，則兩空間上的線性變換的直和可以表成兩矩陣的直和。

一般地，n個矩陣的直和可以寫成：

⨁_{i = 1}^{n} A_{i} = diag (A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots, A_{n}) = [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ ⋱ \\ A_{n} \end{matrix}] .