双体模型

在统计力学和图论中，双体模型（dimer model）是二维空间密鋪的模型，也称为骨牌密鋪（Domino tiling，多米诺密鋪）或随机密铺模型（random tiling model）。这也是平方格子的完美匹配。

8x8平方骨牌密鋪

介绍

若有 $m\times n$ 平方格子G、以及$mn/2$ 把骨牌，覆盖数量或密铺数量是

$Z=\sqrt{|\det K|}=\prod _{j=1}^{\lceil \frac{m}{2}\rceil }\prod _{k=1}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil }(4{\cos }^2\frac{\pi j}{m+1}+4{\cos }^2\frac{\pi k}{n+1}).$

K是G的邻接矩阵。 Z也是统计力学的配分函数。

例如：

• $2\times n$ 格子：$Z_n$是斐波那契数列
• $m=n=2k=0,2,4,\dots$，可以使用普法夫值计算Z

若G是环面，则

$\underset{m,n\to \mathrm{\infty }}{\lim }Z(m,n)/(mn)=C/\pi$。

其中Z依赖同调、C是卡塔兰常数。

疊蓆密鋪

阿兹特克钻石与北极圈现象

Z也依赖格子的边界（参看Template:Internal link helper/en）。

• 
  阿茲特克钻石（Template:Internal link helper/en）密鋪，有1024个密鋪
• 
  一个可能的密鋪

阿兹特克钻石表示所谓的「北极圈的现象」（Arctic circle phenomena），即边界看起来很同质（冰冻地区），但是中间的“北极圈”不同质（非冰冻地区）。可以使用高度函数解释这个现象。

这些文章有更多阿兹特克图：

-{R|http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html}-Template:Wayback

高度函数

一个密铺定义一个0微分形式（函数）：

$s(v)=\pm 1$

s是自旋（参看易辛模型）、v是顶点。那么可以定义一个1-形式：

$ds(e=uv)=s(u)-s(v)=\pm 2$

这个形式是闭形式。注意上面的形式不等于0因为G是二分图。也定义密铺函数

$\delta (e)=0,1$

若双体e存在，$\delta (e)=1$，不然等于0。高度差函数是

$dh(e)=h(u)-h(v)=(1+\delta (e))ds(e)=\pm 3$

这个函数定义一个${\mathbb{Z}}^2\to \mathbb{Z}$的随机函数。这也是闭形式。的确威廉·瑟斯顿表示了若$\delta (e)$真的是密铺函数，这是一个必要条件。h是高度函数。

NxN平方格子的高度函数在中间逼近O(N)。但是阿兹特克钻石的高度函数逼近h的平均值。的确，CKP定理说h最小化一个熵（或热力学自由能）的泛函（变分法）：

$F=\log Z$

共形场论

高斯自由场

双体模型的缩放极限（即高度函数的缩放极限是高斯自由场），高斯自由场是一种二维布朗运动。所以$h(x)\to \varphi (x)$成为二维纯量场。

若G是一定的加权图，K的缩放极限是反全纯导数 $\overline{\partial }$。 若

$Kf=f(w+1)-f(w-1)+if(w+i)-if(w-i)=0$

f是“反全纯函数”。再说 f 是调和函数（和谐函数）。这是因为$K{K}^{*}=L$是调和矩阵（harmonic matrix）。

非冰冻地区描述一个极限形（limit shape），比如这张文章描述一个心脏线：（跟代数几何有关）。高斯自由场也许描述这些极限形。2020年这还是未解决的问题。

数学家知道极限形满足一个类似伯格斯方程（${\varphi }_x-\varphi {\varphi }_y=0$）的椭圆型偏微分方程。这些极限形可以相似极小曲面的魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化。

传播子

邻接矩阵的反函数$K^{-1}(x,y)$是一种格林函数。

$D(x,y)=⟨h(x)h(y)⟩$

是传播子（量子场论）。 可以表示这等于狄利克雷问题的核子

$D(u,v)=-\frac{1}{2\pi }\log (v-u)$

$d_{u}D(u,v)=\frac{1}{2\pi }(\frac{du}{v-u}-\frac{d\overline{u}}{v-\overline{u}})$

由于维克定理，

$⟨h(x_1)\dots h(x_{2k})⟩\propto \sum _{\text{对 }}D(x_{i_1}{x}_{i_2})\dots D(x_{i_{2k-1}}{x}_{i_{2k}})$

相关条目

其他骨牌模型

• 双体，双体模型描述有些很简单的化学和物理学的系统
• 疊蓆，日本式的骨牌密铺
• 肢解國際象棋盤問題
• 王氏砖
• Template:Le
• 平面图

量子场论

• 高斯自由场
• 玻茨模型
• 渗流理论
• 相变、临界现象
• Fisher格子：参看韩文版图（-{R|https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%A9%EC%B2%B4_%EB%AA%A8%ED%98%95}-）

阅读

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