格林函數

Template:NoteTA 在數學中，格林函數（點源函數、影響函數）是一種用來解有初始条件或邊界條件的非齐次微分方程的函數。在物理学的多体理论中，格林函数常常指各种Template:Link-en，有时并不符合数学上函數的定义。

格林函數的名稱是來自於英國數學家喬治·格林（George Green），早在1830年代，他是第一個提出這個概念的人。

定義以及用法

给定流形$M$上的微分算子 $L$，其格林函數$G(x,s)s,x\in M$，为以下方程的解

$LG(x,s)=\delta (x-s)(1)$

其中 $\delta$ 為狄拉克δ函數。此技巧可用來解下列形式的微分方程：

$Lu(x)=f(x)(2)$

若$L$的 零空间非平凡，則格林函數不唯一。不過，實際上因著對稱性、邊界條件或其他的因素，可以找到唯一的格林函數。一般來說，格林函數只是一个广义函数。

格林函數在凝聚態物理學中常被使用，因為格林函數允許擴散方程式有較高的精度。在量子力學中，哈密頓算子的格林函數和狀態密度有重要的關係。由於擴散方程式和薛定谔方程有類似的數學結構，因此兩者對應的格林函數也相當接近。

動機

若可找到線性算符 $L$ 的格林函數 $G$，則可將 (1) 式兩側同乘$f(s)$，再對變數 $s$ 積分，可得：

$\int LG(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds=f(x).$

由公式 (2) 可知上式的等號右側等於 $Lu(x)$，因此：

$Lu(x)=\int LG(x,s)f(s)ds.$

由於算符 $L$ 為線式，且只對變數 $x$ 作用，不對被積分的變數 $s$ 作用），所以可以將等號右邊的算符 $L$ 移到積分符號以外，可得：

$Lu(x)=L(\int G(x,s)f(s)ds).$

而以下的式子也會成立：

$u(x)=\int G(x,s)f(s)ds.(3)$

因此，若知道 (1) 式的格林函數，及 (2) 式中的 f(x)，由於 L 為線性算符，可以用上述的方式得到 u(x)。換句話說， (2) 式的解 u(x) 可以由 (3) 式的積分得到。若可以找到滿足 (1) 式的格林函數 G ，就可以求出 u(x)。

並非所有的算符 L 都存在對應的格林函數。格林函數也可以視為算符 L 的左逆元素。撇開要找到特定算符的格林函數的難度不論，(3) 式的積分也很難求解，因此此方法只能算是提供了一個理論上存在的解法。

格林函數可以用來解非齊次的微-積分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 G 是算符 L 的格林函數，則方程式 Lu = f 的解 u 為

$u(x)=\int f(s)G(x,s)ds.$

可以視為 f 依狄拉克δ函數的基底展開，再將所有投影量疊加的結果。以上的積分為Template:Link-en。

非齊次邊界值問題的求解

格林函數的主要用途是用來求解非齊次的邊界值問題。在近代的理論物理中，格林函數一般是用來作為費曼圖中的傳播子，而「格林函數」一詞也用來表示量子力學中的Template:Link-en。

研究框架

令 $L$ 為一個施图姆-刘维尔算子，是一個以以下形式表示的線性微分算子

$L=\frac{d}{dx}[p(x)\frac{d}{dx}]+q(x)$

而 D 是邊界條件算子

$Du=\{\begin{array}{c}{\alpha }_1{u}^{\prime }(0)+{\beta }_{1}u(0)\\ {\alpha }_2{u}^{\prime }(l)+{\beta }_{2}u(l)\end{array}$

令 $f(x)$ 為在 $[0,l]$ 區間的連續函數，並假設以下問題

$\begin{array}{c}Lu=f\\ Du=0\end{array}$

有正則特牲；即其齊次問題只存在尋常解。

定理

則存在唯一解 $u(x)$ 滿足以下方程式

$\begin{array}{c}Lu=f\\ Du=0\end{array}$

而其解的計算方式如下

$u(x)=\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}f(s)g(x,s)ds$

而中 $g(x,s)$ 即為格林函數，有以下的特性：

1. $g(x,s)$ 對 $x$ 及 $s$ 連續。
2. 對所有 $x\ne s$, $Lg(x,s)=0$.
3. 對所有 $s\ne 0,l$, $Dg(x,s)=0$.
4. 微分跳躍：$g^{\prime }(s_{+0},s)-g^{\prime }(s_{-0},s)=1/p(s)$.
5. 對稱：$g(x,s)=g(s,x)$.

尋找格林函數

特徵向量展開

若一微分算子 L 有一組完备的特徵向量 ${\mathrm{\Psi }}_n(x)$（也就是一組函數 ${\mathrm{\Psi }}_n(x)$ 及純量 ${\lambda }_n$ 使得 $L{\mathrm{\Psi }}_n={\lambda }_n{\mathrm{\Psi }}_n$ 成立）則可以由特徵向量及特徵值產生格林函數。

先假設函數 ${\mathrm{\Psi }}_n(x)$ 滿足以下的完備性：

$\delta (x-x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Psi }}_n(x){\mathrm{\Psi }}_n(x^{\prime }).$

經由證明可得下式：

$G(x,x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{\Psi }}_n(x){\mathrm{\Psi }}_n(x^{\prime })}{{\lambda }_n}.$

若在等號兩側加上微分算子 L，則可以證明以上假設的完備性。

有關以上格林函數的進一步研究，及格林函數和特徵向量所組成空間的關係，則為Template:Link-en所要探討的內容。

拉普拉斯算子的格林函數

先由格林定理開始：

$\underset{V}{\int }(\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi -\psi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi )dV=\underset{S}{\int }(\varphi \mathrm{\nabla }\psi -\psi \mathrm{\nabla }\varphi )\cdot d\hat{\sigma }$

假設線性算符 L 為拉普拉斯算子 ${\mathrm{\nabla }}^2$，而 G 為拉普拉斯算子的格林函數。則因為格林函數的定義，可得下式：

$LG(x,x^{\prime })={\mathrm{\nabla }}^{2}G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })$

令格林定理中的 $\psi =G$，可得：

$\underset{V}{\int }\varphi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })d^3{x}^{\prime }-\underset{V}{\int }G(x,x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^2\varphi (x^{\prime })d^3{x}^{\prime }=\underset{S}{\int }\varphi (x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^{\prime }G(x,x^{\prime })-G(x,x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^{\prime }\varphi (x^{\prime })\cdot d{\hat{\sigma }}^{\prime }(4)$

根據上式，可以解拉普拉斯方程 ${\mathrm{\nabla }}^2\varphi (x)=0$ 或 泊松方程 ${\mathrm{\nabla }}^2\varphi (x)=-4\pi \rho (x)$，其邊界條件可以為狄利克雷邊界條件或是諾伊曼邊界條件。換句話說，在以下任一個條件成立時，可以解一空間內任一位置的 $\varphi (x)$：

1. 已知 $\varphi (x)$ 在邊界上的值（狄利克雷邊界條件）。
2. 已知 $\varphi (x)$ 在邊界上的法向導數（諾伊曼邊界條件）。

若想解在區域內的 $\varphi (x)$，由於狄拉克δ函數的特性，(4) 式等號左邊的第一項

$\underset{V}{\int }\varphi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })d^3{x}^{\prime }$

可化簡為 $\varphi (x)$ ，再將 (4) 式等號左邊第二項 ${\mathrm{\nabla }}^2\varphi (x^{\prime })$ 用 ${\rho }^{\prime }(x^{\prime })$ 表示，（若為泊松方程，${\rho }^{\prime }(x)=-4\pi \rho (x)$，若為拉普拉斯方程，${\rho }^{\prime }(x)=0$），可得：

$\varphi (x)=\underset{V}{\int }G(x,x^{\prime }){\rho }^{\prime }(x^{\prime })d^3{x}^{\prime }+\underset{S}{\int }\varphi (x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^{\prime }G(x,x^{\prime })-G(x,x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^{\prime }\varphi (x^{\prime })\cdot d{\hat{\sigma }}^{\prime }(5)$

上式即為調和函數（harmonic function）的特性之一：若邊界上的值或法向導數已知，則可以求出區域內每個位置的數值。

在靜電學中，$\varphi (x)$ 為電位，$\rho (x)$ 為電荷密度，而法向導數 $\mathrm{\nabla }\varphi (x^{\prime })\cdot d{\hat{\sigma }}^{\prime }$ 則為電場在法向的分量。

若目前的邊界條件為狄利克雷邊界條件，可以選擇在 x 或 x' 在邊界時，其值也為 0 的格林函數。若邊界條件為諾伊曼邊界條件，可以選擇在 x 或 x' 在邊界時，其法向導數為 0 的格林函數。因此 (5) 式等號右側的二個積分項有一項為 0 ，只剩下一項需計算。

在自由空間的情形下（此時可將邊界條件視為：$\underset{\hat{x}\to \mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (x)=0$），拉普拉斯算子的格林函數為：

$G(\hat{x},{\hat{x}}^{\prime })=\frac{1}{|\hat{x}-{\hat{x}}^{\prime }|}$

若 $\rho (\hat{x})$ 為電荷密度，則可得到電荷密度和電位 $\varphi (\hat{x})$ 的公式：

$\varphi (\hat{x})=\underset{V}{\int }\frac{\rho (x^{\prime })}{|\hat{x}-{\hat{x}}^{\prime }|}{d}^3{x}^{\prime }$

範例

針對以下微分方程

$\begin{array}{c}Lu\end{array}=u^{″}+u=f(x)$

$Du=u(0)=0,u\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$

找出格林函數。

第 1 步

根據定理中，格林函數的特性 2，可得

$g(x,s)=c_1(s)\cdot \cos x+c_2(s)\cdot \sin x$

在 x < s 時因特性 3 可知

$g(0,s)=c_1(s)\cdot 1+c_2(s)\cdot 0=0,c_1(s)=0$

（此時不需考慮 $g(\frac{\pi }{2},s)=0$ 的式子，因 $x\ne \frac{\pi }{2}$）在 x > s 時因特性 3 可知

$g(\frac{\pi }{2},s)=c_1(s)\cdot 0+c_2(s)\cdot 1=0,c_2(s)=0$

（此時不需考慮 $g(0,s)=0$ 的式子，因 $x\ne 0$）整理上述的結果，可得以下的式子。

$g(x,s)=\{\begin{array}{c}a(s)\sin x,x<s\\ b(s)\cos x,s<x\end{array}$

第 2 步

依格林函數的特性，找出 a(s)和b(s).

根據特性 1，可得

$a(s)\sin s=b(s)\cos s$.

根據特性 4，可得

$b(s)\cdot [-\sin s]-a(s)\cdot \cos s=\frac{1}{1}=1.$

解上述二式，可以求出 a(s)和b(s)

$a(s)=-\cos s;b(s)=-\sin s$.

因此格林函數為

$g(x,s)=\{\begin{array}{c}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,x<s\\ -1\cdot \sin s\cdot \cos x,s<x\end{array}$

對照此解和格林函數的特性 5，可知此解也滿足特性 5 的要求。

其他舉例

• 若流形為 R，而線性算符 L 為 d/dx，則单位阶跃函数 H(x − x₀) 為 L 在 x₀ 處的格林函數。
• 若流形為第一象限平面 { (x, y) : x, y ≥ 0 } 而線性算符 L 為拉普拉斯算子，並假設在x = 0 處有狄利克雷邊界條件，而在y = 0 處有諾依曼邊界條件，則其格林函數為

$G(x,y,x_0,y_0)=\frac{1}{2\pi }[\ln \sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}-\ln \sqrt{(x+x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}]$

$+\frac{1}{2\pi }[\ln \sqrt{(x-x_0{)}^2+(y+y_0{)}^2}-\ln \sqrt{(x+x_0{)}^2+(y+y_0{)}^2}].$

參見

• Template:Link-en，可定義於圖以及網上。
• 脈衝響應
• 格林恆等式
• 基爾霍夫積分定理

參考

• Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9.（其中的第五章介绍如何使用格林函數解靜電場的邊界值問題）
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

外部連結

• Template:MathWorld
• Template:PlanetMath
• Template:Planetmath reference
• 格林函數簡介（英文）