椭圆型偏微分方程

Template:Expand language 椭圆型偏微分方程（Template:Lang-en）是一类二阶線性偏微分方程，形式为：

$A{u}_{xx}+2B{u}_{xy}+C{u}_{yy}+D{u}_x+E{u}_y+Fu+G=0$

并满足

$B^2-AC<0.$

其中Template:Math, Template:Math, Template:Math, Template:Math, Template:Math, Template:Math, and Template:Math是Template:Math和Template:Math的函數，$u_x=\frac{\partial u}{\partial x}$, $u_{xy}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$，$u_{xx},u_y,u_{yy}$的定義也類似

其名稱是源自橢圓形的方程式。

最簡單的椭圆型偏微分方程是拉普拉斯方程，$\mathrm{\Delta }u=u_{xx}+u_{yy}=0$，以及泊松方程，$\mathrm{\Delta }u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).$。其他所有的雙變數椭圆型偏微分方程都是這兩種方式的擴展，而且一定可以透過變數變換，轉換為以下的標準形。

$u_{xx}+u_{yy}+\text{ (lower-order terms)}=0$

参见

• 椭圆算子
• 抛物型偏微分方程
• 双曲型偏微分方程
• 二阶偏微分方程