卡塔兰常数

Template:NoteTA {{#invoke:TemplateVariadicArgumentSingle|build_template |_core_template=Template:Infobox number/core |_core_args=lang |_core_insert_code= | lang$ = {{{lang$|}}} | lang$ symbol = {{{lang$ symbol|}}} }} 卡塔兰常数 G，是一个偶尔出现在组合数学中的常数，定义为：

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots$

其中β是Template:Link-en。它的值大约为：

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

目前还不知道G是有理数还是无理数。

积分恒等式

一些恒等式包括：

$G=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (t)}{1+t^2}\mathrm{d}t$

$G=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x^2{y}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

$G=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{t}{\sin t\cos t}\mathrm{d}t$

还有

$G=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{K}(k)\mathrm{d}x$

其中$K(x)$是第一类完全椭圆积分，

$G=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arctan x}{x}\mathrm{d}x$

应用

G出现在组合数学中，也出现在第二多伽玛函数（也称为三伽玛函数）的值中。

${\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)={\pi }^2+8G$

${\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)={\pi }^2-8G$

Simon Plouffe给出了无穷多个含有三伽玛函数、${\pi }^2$和卡塔兰常数的恒等式。

快速收敛级数

以下两个级数收敛得很快，可以用于计算卡塔兰常数的值：

$G=$	$3\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{4n}}(-\frac{1}{2(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^2(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^3(8n+5{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^4(8n+7{)}^2}+\frac{1}{2(8n+1{)}^2})-$
	$2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{12n}}(\frac{1}{2^4(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^6(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^9(8n+5{)}^2}-\frac{1}{2^{10}(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^{12}(8n+7{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+1{)}^2})$

以及

$G=\frac{\pi }{8}\log (\sqrt{3}+2)+\frac{3}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n!{)}^2}{(2n)!(2n+1{)}^2}.$

已知的位数

已知的位数

日期	位数	计算者
2009年4月16日	31,026,000,000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
2009年1月31日	15,510,000,000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
2008年8月	10,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2006年10月	5,000,000,000	Shigeru Kondo
2002年	201,000,000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2001年	100,000,500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
1998年1月4日	12,500,000	Xavier Gourdon
1997年	3,379,957	Patrick Demichel
1996年	1,500,000	Thomas Papanikolaou
1996年9月29日	300,000	Thomas Papanikolaou
1996年8月14日	100,000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996年	50,000	Greg J. Fee
1990年	20,000	Greg J. Fee
1913年	32	James W. L. Glaisher
1877年	20	James W. L. Glaisher

参考文献

• Victor Adamchik, 卡塔兰常数的33种表示法Template:Wayback
• Simon Plouffe, 一些与卡塔兰常数有关的恒等式Template:Wayback, (1993) （有超过一百个不同的恒等式）
• Template:MathWorld