心脏线

心脏线

一个圆滚动产生的心脏线

使用圆和切线生成一个心脏线

心脏线，又稱心形綫，是有一个尖点的外摆线。也就是说，一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时，圆上一点的轨迹就是心脏线。

曼德博集合中间的图形是心脏线。

方程

在笛卡儿坐标系中，心脏线的参数方程为：

$x(t)=2r\cos t(1-\cos t)=2r(\cos t-\frac{1}{2}(1+\cos 2t)),$

$y(t)=2r\sin t(1-\cos t)=2r(\sin t-\frac{1}{2}\sin 2t)$

其中r是圆的半径。曲线的尖点位于（r，0）。

在极坐标系中的方程为：

$\rho (\theta )=2r(1-\cos \theta ).$

图像

这是四个朝着不同方向的心脏线。

面积

方程为

$\rho (\theta )=a(1-\cos \theta )$

的心脏线的面积为：

$A=\frac{3}{2}\pi a^2$，证明如下：

首先，因为函数图像关于$x$轴对称，所以只要求出当$y\ge 0$时的面积再乘以2即可。

然后，易知当$\theta =0,\pi$的时候$\rho =0$，因此

$A=2\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1}{2}(a(1-\cos \theta ){)}^{2}d\theta =a^2(\theta -2\sin \theta +\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4})\underset{0}{\overset{\pi }{\mid }}=\frac{3a^2\pi }{2}$

参见

• 外摆线

参考文献

• cut-the-knot Template:Wayback
• Xah Lee, Cardioid Template:Wayback (1998)
• Jan Wassenaar, Cardioid Template:Wayback, (2005)