正多面體列表
Template:Main 在幾何學中，正多面體是指各面都是全等的正多邊形且每一個頂點所接的面數都是一樣的多面體。除了五種凸正多面體（柏拉圖立體）外，亦有其他能符合上述條件的立體，例如四種星形正多面體（克卜勒－龐索立體）[2]。
在不考慮其他空間（如雙曲空間、複數空間）的情況下，麥克馬倫在其論文中共整理並列出了48種正多面體[3]。
概述
所有正多面體皆可以使用施萊夫利符號來表示，其可以計為{n, m}。其中n表示構成面的頂點數，m則表示與頂點相鄰的多邊形數量。在中文語境中，一般被大眾認知的正多面體通常代表只有五種的凸正多面體，又稱為柏拉圖立體，其包括了正四面體、立方體、正八面體、正十二面體和正二十面體[4]。然而在定義上，正多面體僅指每個面是正多邊形、每條邊等長每個角等角且每面全等的多面體，而符合上述定義的多面體不一定是凸多面體，也可能是星形多面體[5]、抽象多面體[6]或扭歪多面體[7]等。這些多面體除了五種凸正多面體外，還有四種非凸正多面體（克普勒–龐索立體）、五種抽象正多面體和五種複合正多面體。
| 柏拉圖立體 | 正四面體、 立方體、 正八面體、 正十二面體、 正二十面體 |
|---|---|
| 克卜勒－龐索立體 | 小星形十二面體、 大十二面體、 大星形十二面體、 大二十面體 |
| 複合正多面體 | 星形八面體、 五複合正四面體、 十複合正四面體、 五複合立方體、 五複合正八面體 |
| 正扭歪無限面體 | 四角六片四角孔扭歪無限面體、 六角四片四角孔扭歪無限面體、 六角六片三角孔扭歪無限面體 |
| 正扭歪多面體 | 四角六片三角孔扭歪正三十面體、 六角四片三角孔扭歪正二十面體、 四角八片三角孔扭歪正二百八十八面體、 八角四片三角孔扭歪正一百四十四面體 |
| 複空間正多面體 | 黑塞二十七面體、 雙黑塞二十七面體、 截半黑塞二十七面體 |
| 正多面體半形 | 立方體半形、 八面體半形、 十二面體半形、 二十面體半形 |
| 依面的個數 | 正零面體（0、 空多胞形）、 正一面體（1）、 正二面體（2、 多邊形二面體）、 正三面體（3、 立方體半形）、 正四面體（4、 正四面體、 八面體半形）、 正六面體（6、 立方體、 十二面體半形）、 正八面體（8、 正八面體、 星形八面體）、 正十面體（10、 二十面體半形）、 正十二面體（12、 正十二面體、 小星形十二面體、 大十二面體、 大星形十二面體）、 正二十面體（20、 正二十面體、 大二十面體、 六角四片三角孔扭歪正二十面體、 五複合正四面體）、 正二十七面體（27、 黑塞二十七面體）、 正三十面體（30、 四角六片三角孔扭歪正三十面體、 五複合立方體）、 正四十面體（40、 十複合正四面體、 五複合正八面體）、 正五十四面體（54、 截半黑塞二十七面體）、 正七十二面體（72、 雙黑塞二十七面體）、 正一百四十四面體（144、 八角四片三角孔扭歪正一百四十四面體）、 正二百八十八面體（288、 四角八片三角孔扭歪正二百八十八面體）、 正無限面體（∞、 正鑲嵌圖、 扭歪無限面體、 § 雙曲無限面體） |
| 依組成面 | § 二角形、 § 正三角形、 § 正方形、 § 五邊形 （ § 五邊形、 § 正五角星形）、 § 六邊形、 § 七邊形、 § 八邊形、 § 無限邊形 |
列表
下表列出了所有標記可以在其對稱性上傳遞的多面體，換句話說，即該多面體皆同時具有等邊、等角和等面的特性。
無窮集合的正多面體
大部分的正多面體都只有有限個，如凸正多面體5個[4]、星形多面體4個[5]、正扭歪無限面體3個[10]與難以良好具像化的抽象正多面體5個[6]等。然而在部分正多面體的種類有無窮多個，如同正多邊形的邊數可以無窮上升一般，例如除了柏拉圖立體、黑塞二十七面體、雙黑塞二十七面體與截半黑塞二十七面體之外的複正多面體[12]，或內接於雙曲仿緊空間堆砌中的Template:Link-en上的雙曲鑲嵌[13]等幾何結構。
雙曲無限面體
在幾何學中，平面鑲嵌可以被視為多面的的一種退化成平面的退化形式，即無限面體[15]。然而諞面鑲嵌或雙曲鑲嵌可以用類似多面體堆砌填充三為歐氏空間的方法來填滿雙曲空間，這種結構稱為蜂巢體[16]，在這種情況下，蜂巢體中的每一個胞皆為一個平面鑲嵌或雙曲鑲嵌[14]，即前面所述的退化多面體或無限面體[17]。這些退化的幾何結構由於形成雙曲空間蜂巢體可以內接在一個雙曲極限球（即只與單一雙曲無窮遠點相交的雙曲空間球體）[18]或雙曲超極限球（無法交於單一雙曲無窮遠點的雙曲空間球體）[19]上，因此，此時也能把此結構視為一個雙曲空間的多面體，當這個多面體具有正多面體性質時，也可以稱為一種廣義的正多面體，例如六邊形鑲嵌蜂巢體中的六邊形鑲嵌[20]或三階七邊形鑲嵌蜂巢體中的正七邊形鑲嵌[14]。 Template:Clear
| 鑲嵌圖 |  {3,6} 正三角形鑲嵌 |
 {4,4} 正方形鑲嵌 |
 {6,3} 正六邊形鑲嵌 |
|---|---|---|---|
| 以該鑲嵌圖為胞 的雙曲空間蜂巢體 |
 Template:Link-en |
 Template:Link-en |
 {6,3,3} |
| 鑲嵌圖 | {3,6} 六階三角形鑲嵌 |
 {3,7} 七階三角形鑲嵌 |
 {3,8} 八階三角形鑲嵌 |
... |  {3,∞} 無限階三角形鑲嵌 |
|---|---|---|---|---|---|
| 以該鑲嵌圖為胞 的雙曲空間蜂巢體 |
Template:Link-en |
 Template:Link-en |
 Template:Link-en |
 {3,∞,3} |
| 鑲嵌圖 | {4,4} 四階正方形鑲嵌 |
 {4,5} 五階正方形鑲嵌 |
 {4,6} 六階正方形鑲嵌 |
 {4,7} 七階正方形鑲嵌 |
 {4,8} 八階正方形鑲嵌 |
... |  {4,∞} 無限階正方形鑲嵌 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 以該鑲嵌圖為胞 的雙曲空間蜂巢體 |
Template:Link-en |
 Template:Link-en |
 Template:Link-en |
 Template:Link-en |
 Template:Link-en |
 {4,∞,3} |
| 鑲嵌圖 |  {5,4} 四階五邊形鑲嵌 |
{5,5} 五階五邊形鑲嵌 |
 {5,6} 六階五邊形鑲嵌 |
 {5,7} 七階五邊形鑲嵌 |
 Template:Link-enTemplate:Link-en |
... |  {5,∞} 無限階五邊形鑲嵌 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 以該鑲嵌圖為胞 的雙曲空間蜂巢體 |
 Template:Link-en |
 Template:Link-en |
 Template:Link-en |
 Template:Link-en |
 Template:Link-en |
 {5,∞,3} |
| 鑲嵌圖 | {6,3} 三階六邊形鑲嵌 |
 {6,4} 四階六邊形鑲嵌 |
 {6,5} 五階六邊形鑲嵌 |
 {6,6} 六階六邊形鑲嵌 |
 {6,7} 七階六邊形鑲嵌 |
 {6,8} 八階六邊形鑲嵌 |
... |  Template:Link-enTemplate:Link-en |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 以該鑲嵌圖為胞 的雙曲空間蜂巢體 |
{6,3,3} |
 {6,4,3} |
 {6,5,3} |
 {6,6,3} |
 {6,7,3} |
 {6,8,3} |
 {6,∞,3} |
| 鑲嵌圖 |  {7,3} |
 {7,4} |
 {7,5} |
 {7,6} |
 {7,7} |
 {7,8} |
... |  {7,∞} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 以該鑲嵌圖為胞 的雙曲空間蜂巢體 |
 {7,3,3} |
 {7,4,3} |
 {7,5,3} |
| 鑲嵌圖 |  {8,3} |
 {8,4} |
 {8,5} |
 {8,6} |
 {8,7} |
 {8,8} |
... |  {8,∞} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 以該鑲嵌圖為胞 的雙曲空間蜂巢體 |
 {8,3,3} |
 {8,4,3} |
 {8,5,3} |
| 鑲嵌圖 |  {∞,3} |
 {∞,4} |
 {∞,5} |
 Template:Link-en |
 Template:Link-en |
 Template:Link-en |
... |  Template:Link-en |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 以該鑲嵌圖為胞 的雙曲空間蜂巢體 |
 {∞,3,3} |
 {∞,4,3} |
 {∞,5,3} |
 {∞,6,3} |
 {∞,7,3} |
 {∞,8,3} |
 {∞,∞,3} |
多面形與多邊形二面體
 二角形二面體 {2,2} |
 正三角形二面體 {3,2} |
 正方形二面體 {4,2} |
 正五邊形二面體 {5,2} |
 正六邊形二面體 {6,2} |
... | {n,2} |
正二面形 {2,2} |
 正三面形 {2,3} |
 正四面形 {2,4} |
 正五面形 {2,5} |
 正六面形 {2,6} |
... | {2,n} |
依施萊夫利符號分類
依組成面分類
一般的凸正多面體只能由正三角形、正方形和正五邊形構成；若考慮非凸的情況則可以由正五角星構成；若允許複數的空間，則莫比烏斯－坎特八邊形也能構成正多面體。然而正七邊形難以存在於平坦空間的立體中。[23]而目前已知存有正七邊形的正多面體存於雙曲空間中。[14] Template:TermTemplate:Anchor
正二面形 {2,2} 2個二角形 |
正三面形 {2,3} 3個二角形 |
正四面形 {2,4} 4個二角形 |
正五面形 {2,5} 5個二角形 |
正六面形 {2,6} 6個二角形 |
... | {2,n} n個二角形 |
正三角形二面體 {3,2} 2個正三角形 |
 正四面體 {3,3} 4個正三角形 |
 八面體半形 {3,4}/2 4個正三角形 |
 正八面體 {3,4} 8個正三角形 |
 星形八面體 2{3,3} 8個正三角形 |
 二十面體半形 {3,5}/2 10個正三角形 |
 正二十面體 {3,5} 20個正三角形 |
 大二十面體 {3,5/2} 20個正三角形 |
 五複合正四面體 5{3,3} 20個正三角形 |
 十複合正四面體 10{3,3} 40個正三角形 |
 五複合正八面體 5{3,4} 40個正三角形 |
 Template:CDD 2{3}2{4}p p3個正三角形 |
正三角形鑲嵌 {3,n} 無窮個正三角形 | |
正方形二面體 {4,2} 2個正方形 |
 立方體半形 {4,3}/2 3個正方形 |
 立方體 {4,3} 6個正方形 |
 扭歪正三十面體 {4,6|3} 30個正方形 |
 五複合立方體 5{4,3} 30個正方形 |
 扭歪288面體 {4,8|3} 288個正方形 |
 扭歪p2面體 {4,4|p} p2個正方形 |
 多立方體 {4,6|4} 無窮個正方形 |
正方形鑲嵌 {4,n} 無窮個正方形 |
| 形狀 | 正五邊形二面體 {5,2} |
 十二面體半形 {5,3}/2 |
 正十二面體 {5,4} |
 大十二面體 {5,5/2} |
 大星形十二面體 {5/2,3} | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 面的組成 | 2個正五邊形 |
6個正五邊形 |
 12個正五邊形 |
 12個正五邊形 |
 12個正五角星形 | |
| 形狀 |  小星形十二面體 {5/2,5} |
 抽象正二十四面體[22] {5,4}6 |
 抽象正二十四面體 {5,6}4 |
 五邊形鑲嵌 {5,n} | ||
| 面的組成 |  12個正五角星形 |
24個抽象正五邊形 具像化由：   12個正五邊形和 12個正五角星形 |
24個抽象正五邊形 具像化由： 12個正五邊形和 12個正五角星形 |
無窮個正五邊形 | ||
六邊形二面體 {6,2} 2個正六邊形 |
 扭歪二十面體 {6,4|3} 20個正六邊形 |
 多八面體 {6,4|4} 無窮個正六邊形 |
 多四面體 {6,6|3} 無窮個正六邊形 |
正六邊形鑲嵌 {6,n} 無窮個正六邊形 |
Template:Defn Template:TermTemplate:Anchor Template:Defn
| 形狀 |  正八邊形二面體 {8,2} |
 黑塞二十七面體 3{3}3{3}3 |
 截半黑塞二十七面體 3{3}3{4}2 |
 八邊形鑲嵌 {8,n} |
|---|---|---|---|---|
| 面的組成 | 2個正八邊形 |
 27個正莫比烏斯－坎特八邊形 |
 54個正莫比烏斯－坎特八邊形 |
無窮個正八邊形 |
相關多面體
柏拉圖立體可以透過康威變換轉換成13種阿基米德立體[24]，其他正多面體也可以透過康威變換轉換成半正多面體或均勻多面體：
備註：粗體或灰底表示變換完的結果仍為正多面體者。
參見
參考文獻
- Bertrand, J. (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46, pp. 79–82.
- Haeckel, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. Art forms in nature, Prestel USA (1998), Template:Isbn, or online at mpiz-koeln.mpg.de
- Smith, J. V. (1982). Geometrical And Structural Crystallography. John Wiley and Sons.
- Sommerville, D. M. Y. (1930). An Introduction to the Geometry of n Dimensions. E. P. Dutton, New York. (Dover Publications edition, 1958). Chapter X: The Regular Polytopes.
- Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. Template:Isbn
Template:Reflist Template:Refend
外部連結
- ↑ Template:Cite journal
- ↑ Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ)[1] p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra
- ↑ Template:Cite journal
- ↑ 4.0 4.1 Template:Cite book
- ↑ 5.0 5.1 Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra
- ↑ 6.0 6.1 Template:Cite journal
- ↑ Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937
- ↑ 8.0 8.1 8.2 Regular polytopes, p.98
- ↑ 9.0 9.1 Regular polytopes, pp.49-50
- ↑ Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, Template:Isbn (Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.)
- ↑ Template:Citation
- ↑ Coxeter, Regular Complex Polytopes,[11] Table V. The nonstarry regular polyhedra and 4-polytopes. p. 180.
- ↑ James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge studies in advanced mathematics, 29 (1990)
- ↑ 14.0 14.1 14.2 14.3 Visualizing Hyperbolic Honeycombs arXiv:1511.02851 Template:Wayback Roice Nelson, Henry Segerman (2015)
- ↑ Template:Cite book
- ↑ Template:Cite mathworld
- ↑ Template:Cite book
- ↑ Appendix, the theory of space Janos Bolyai, 1987, p.143
- ↑ Template:Cite book
- ↑ Coxeter The Beauty of Geometry, 1999, Chapter 10, Table III
- ↑ Template:Cite web
- ↑ 22.0 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 Template:Cite web
- ↑ Template:Citation
- ↑ Template:Cite mathworld