切萨罗求和

切薩羅求和（Template:Lang-en）也稱為切薩羅平均（Cesàro mean）或切薩羅極限（Cesàro limit），是由義大利的數學家恩納斯托·切薩羅（Ernesto Cesàro）發明，是計算無窮級數和的方式。若一級數收斂至α，則其切薩羅和存在，其值為 α，而有些發散級數也可以用切薩羅求和的方式，計算出切薩羅和。可以計算切薩羅求和的級數是切薩羅可求和的級數。

切薩羅求和可視為是一種特殊的Template:Le。

切薩羅求和中的「求和」一詞可能會造成誤解，而有關切薩羅求和的敘述和證明也和無窮級數證明的Template:Le有關。有關切薩羅可求和級數，常被提到的是格蘭迪級數，依照切薩羅求和可得其「和」為1/2^。

定義

令{a_n}為一數列，且令

$s_k=a_1+\cdots +a_k$

為數列前k項的部份和：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$.

若以下的條件成立，則此數列{a_n}的切薩羅和存在，且其值為α。

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{s_1+\cdots +s_n}{n}=\alpha$.

格蘭迪級數的例子

Template:Main 令 a_n = (-1)ⁿ⁺¹, n ≥ 1。因此{a_n} 為以下的數列：

$1,-1,1,-1,\dots$。

其部份和組成的數列 {s_n} 為

$1,0,1,0,\dots$；

此數列為格蘭迪級數，不會收斂。

而數列 {(s₁ + ... + s_n)/n} 的各項分別為

$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},\frac{4}{7},\frac{4}{8},\dots$；

當n趨近於無限大，切薩羅和為如下極限：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{s_1+\cdots +s_n}{n}=1/2$。

因此，數列 {a_n} 的切薩羅和為 1/2。

推廣

切薩羅在1890年發展了更廣泛的切薩羅和，表示為(C, n)，其中n為非負整數。 (C, 0) 是一般定義下的和，而(C, 1)就是上述的切薩羅和。

n>1時的(C, n) 如下所述： 對於級數Σa_n, 定義

$A_n^{-1}=a_n;A_n^{\alpha }=\sum _{k=0}^n{A}_k^{\alpha -1}$

(上面的指数不表示指数)且定義 E_n^α 為數列 1 , 0 , 0 , 0 , 0· · · 的 A_n^α。 則 Σa_n 的 (C, α) 和則為

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{A_n^{\alpha }}{E_n^{\alpha }}$

若以上數值存在。

这种描述代表初始求和方法的 α 次迭代应用。

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參考文獻

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