阿贝尔求和公式

Template:多個問題 阿贝尔求和公式是由尼尔斯·阿贝尔所发现，广泛应用于数论之中，以便用来计算级数。

恒等式

设$a_n$为一列由实数或複數，$\varphi$是一個連續可導函数，则

$\sum _{1\le n\le x}{a}_n\varphi (n)=A(x)\varphi (x)-\underset{1}{\overset{x}{\int }}A(u){\varphi }^{\prime }(u)\mathrm{d}u$

其中$A(x)$是部分和

$A(x):=\sum _{1\le n\le x}{a}_n.$

而且这正是對黎曼－斯蒂尔杰斯积分运用分部积分法所得到的。

更一般情況，有

$\sum _{x<n\le y}{a}_n\varphi (n)=A(y)\varphi (y)-A(x)\varphi (x)-\underset{x}{\overset{y}{\int }}A(u){\varphi }^{\prime }(u)\mathrm{d}u.$

例

欧拉-马斯刻若尼常数

设$a_n=1$，$\varphi (x)=\frac{1}{x}$，則$A(x)=\lfloor x\rfloor$，恆等式變為

$\sum _{n=1}^x\frac{1}{n}=\frac{\lfloor x\rfloor }{x}+\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\lfloor u\rfloor }{u^2}\mathrm{d}u,$

因此是一种可以表示欧拉-马斯刻若尼常数的方式。

黎曼ζ函数的表示

设$a_n=1$，$\varphi (x)=\frac{1}{x^s}$，則$A(x)=\lfloor x\rfloor$，故

$\sum _1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}\mathrm{d}u.$

公式在$\mathrm{\Re }(s)>1$時成立，并且可以用来推导狄利克雷定理，其斷言，若以$\zeta$表示黎曼ζ函数，則$\zeta (s)$在s = 1處有留数为1的简单極點。

黎曼ζ函数的倒数

设$a_n=\mu (n)$，$\mu$為默比乌斯函数，且$\varphi (x)=\frac{1}{x^s}$，則$A(x)=M(x)=\sum _{n\le x}\mu (n)$，故$A$為梅滕斯函数，而恆等式變成

$\sum _1^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{M(u)}{u^{1+s}}\mathrm{d}u.$

上式在$\mathrm{\Re }(s)>1$時成立。

参见

• 分部积分法
• 黎曼ζ函数

参考文献

• Template:Citation.