里斯表示定理

Template:NoteTA 在泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理（Template:Lang-en），它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯。

希尔伯特空间的表示定理

此定理說明希尔伯特空间的連續線性泛函都可以表示成內積。

定理：$H$是個複希尔伯特空间（也就是标量是複數），那對於任意連續線性泛函 $f:H\to ℂ$，存在唯一的 $v_f\in H$ 使得

$f(h)=⟨v_f,h⟩$

證明的重點在於先證明$f$ 的核的正交补是 $H$ 的一维子空间，然後取那个子空间中一个非零元素 $z$，設 $v_f=\frac{f(z)\cdot z}{{\Vert z\Vert }^2}$。

與狄拉克符號的關係

这个定理也是量子力学中的狄拉克符号於數學上合理的依據；也就是說，当機率幅 $⟨\psi |\varphi ⟩$ 對每個任意態向量 $|\varphi ⟩$ 都是連續的時候，可以視為每个左向量 $⟨\psi |$ （也就是表示躍遷到 $\psi$ 狀態的機率幅的線性泛函）都有一个相应的右向量 $|\psi ⟩$ 來同時代表同一個純態 $\psi$ ，因為根據以上的表現定理， $⟨\psi |\varphi ⟩$ 就是 $|\psi ⟩$ 和 $|\varphi ⟩$ 的內積。

里斯-马尔可夫表示定理

歷史

历史上，通常认为这个定理同时由里斯和弗雷歇发现 Template:Quotation

支集為緊的連續函數空間

$C_c(X)$ 意為由所有支集為紧的连续函数 $f:X\to ℂ$ 所構成的函数空间。

定理： $X$ 是局部紧的豪斯多夫空间 ，則對正线性泛函 $\mathrm{\Lambda }:C_c(X)\to {ℝ}^{+}$，存在一個含有所有 $X$ 的博雷爾集的Σ-代数 $𝔐$ ，且存在唯一的测度$\mu :𝔐\to {ℝ}^{+}\cup \{-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\}$ 使得

$\mathrm{\Lambda }(f)=\underset{X}{\int }fd\mu$

且（以下的條件稱為正則的）

• 对所有 $X$ 的紧子集 $K\subseteq X$ ，$\mu (K)\in ℝ$。
• 若 $E\in 𝔐$ ，則 $\mu (E)=\inf \{\mu (U):E\subseteq U,U\text{ is open}\}$
• 若 $E\in 𝔐$ 且 $\mu (E)\in ℝ$ ，則 $\mu (E)=\sup \{\mu (K):K\subseteq E,K\text{ is compact}\}$
• 若$O$ 為 $X$ 的開集，則$\mu (O)=\sup \{\mu (K):K\subseteq O,K\text{ is compact}\}$

於無窮遠處消失的連續函數空間

里斯-马尔可夫表示定理也有以下不同的版本：

設 $C_0(X)$ 為 $X$ 上所有在無窮遠處消失的连续函数 $f:X\to ℂ$ 所構成的函数空间。

定理：$X$ 是局部紧的豪斯多夫空间。則對有界线性泛函 $\mathrm{\Lambda }:C_0(X)\to ℝ$，存在一個含有所有 $X$ 的博雷爾集的Σ-代数 $𝔐$ ，且存在唯一的正則测度$\mu :𝔐\to ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\}$ 使得

$\mathrm{\Lambda }(f)=\underset{X}{\int }fd\mu$

且 $\mathrm{\Lambda }$ 的范数是 $\mu$ 的全变差（Template:Lang-en），即

$\Vert \mathrm{\Lambda }\Vert =|\mu |(X).$

最后，$\mathrm{\Lambda }$ 是正的当且仅当测度 $\mu$ 是非负的。

注：$C_c(X)$ 上的有界线性泛函可唯一地延拓为 $C_0(X)$上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的闭包。但是 $C_c(X)$ 上一个无界正线性泛函不能延拓为 $C_0(X)$ 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。

参考文献

• M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416.
• F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
• F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
• J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187.
• P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
• D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277-280 (A category theoretic presentation as natural transformation).
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.
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