矩阵差分方程

矩阵差分方程是一种差分方程，其中某时刻的变量向量（或矩阵）与之前时刻的值通过矩阵相关。方程的阶是变量向量任意两个指示值之间的最大时差。例如

${𝐱}_t={𝐀𝐱}_{t-1}+{𝐁𝐱}_{t-2}$

是二阶矩阵差分方程，其中Template:Math是Template:Math变量向量，Template:Math、Template:Math是Template:Math矩阵。该方程齐次，因为方程末尾没有常数项向量。同一个方程也可写成

${𝐱}_{t+2}={𝐀𝐱}_{t+1}+{𝐁𝐱}_t$

或

${𝐱}_n={𝐀𝐱}_{n-1}+{𝐁𝐱}_{n-2}$

最常见的矩阵差分方程都是一阶的。

非齐次一阶情形及稳态

非齐次一阶矩阵差分方程如：

${𝐱}_t={𝐀𝐱}_{t-1}+𝐛$

与一个加性常向量 Template:Math。该系统的稳态是Template:Math向量的值Template:Math，一旦达到就不会偏离。Template:Math可通过置Template:Math、解Template:Math以得

${𝐱}^{*}=[𝐈-𝐀{]}^{-1}𝐛$

其中Template:Math是Template:Math单位矩阵，假定Template:Math可逆。非齐次方程可用偏离稳态的齐次方程重写：

$[{𝐱}_t-{𝐱}^{*}]=𝐀[{𝐱}_{t-1}-{𝐱}^{*}]$

一阶情形的稳定性

一阶矩阵差分方程Template:Math是稳定的，即当且仅当转移矩阵Template:Math的所有特征值（无论实复）绝对值都小于1时，Template:Math才逐渐收敛到稳态Template:Math。

解一阶情形

假定方程齐次形式为Template:Math，然后可从初始条件Template:Math开始迭代。Template:Math是Template:Math的初值，必须得知才能求解：

$\begin{array}{cc}{𝐲}_1& ={𝐀𝐲}_0\\ {𝐲}_2& ={𝐀𝐲}_1={𝐀}^2{𝐲}_0\\ {𝐲}_3& ={𝐀𝐲}_2={𝐀}^3{𝐲}_0\end{array}$

以此类推，由数学归纳法，用Template:Mvar表示的解为

${𝐲}_t={𝐀}^t{𝐲}_0$

此外，若Template:Math可对角化，就可用它的特征值和特征向量重写Template:Math，得到解

${𝐲}_t={𝐏𝐃}^t{𝐏}^{-1}{𝐲}_0,$

其中Template:Math是Template:Math矩阵，列是Template:Math的特征向量（假设特征值互异）；Template:Math是Template:Math对角矩阵，对角元是Template:Math的特征值。这个解就是上述稳定性结果的依据：当且仅当Template:Mvar的特征值绝对值都小于1，Template:Math才会随时间收缩到零矩阵。

从一阶矩阵系统中提取单一标量变量的动力特性

从Template:Math维系统Template:Math开始，可以提取其中一个状态变量（如Template:Math）的动态变化。上述Template:Mvar的求解方程表明，Template:Math的解是根据Template:Math的Template:Mvar个特征值求得的。因此，描述Template:Math变化的方程本身必须有涉及特征值的解。这种描述直观地产生了Template:Math的演化方程，即

$y_{1,t}=a_1{y}_{1,t-1}+a_2{y}_{1,t-2}+\dots +a_n{y}_{1,t-n}$

其中参数Template:Mvar来自Template:Math的特征方程式：

${\lambda }^n-a_1{\lambda }^{n-1}-a_2{\lambda }^{n-2}-\dots -a_n{\lambda }^0=0.$

因此，Template:Mvar维一阶线性系统中的每个标量变量都根据一元Template:Mvar阶差分方程演化，与矩阵差分防尘具有相同的稳定性。

高阶情形的解与稳定性

可用分块矩阵将高阶矩阵差分方程转换到一阶，可以求解时滞超过一个周期的高阶方程，并分析其稳定性。例如，假设有二阶方程

${𝐱}_t={𝐀𝐱}_{t-1}+{𝐁𝐱}_{t-2}$

变量向量Template:Math尺寸为Template:Math，Template:Math、Template:Math尺寸为Template:Math。则可以叠加为下列形式

$\left[\begin{array}{c}{𝐱}_t\\ {𝐱}_{t-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}𝐀& 𝐁\\ 𝐈& \mathrm{𝟎}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{𝐱}_{t-1}\\ {𝐱}_{t-2}\end{array}\right]$

其中Template:Math是Template:Math单位矩阵，Template:Math是Template:Math零矩阵。然后将当前变量和一度滞后变量的Template:Math叠加向量表示为Template:Math，将Template:Math分块矩阵表示为Template:Math，就得到了之前的解

${𝐳}_t={𝐋}^t{𝐳}_0$

与之前一样，当且仅当矩阵Template:Math 的所有特征值的绝对值都小于1时，叠加方程与原二阶方程才稳定。

非线性矩阵差分方程：黎卡提方程

在LQG控制中，会出现一个当前和未来成本矩阵反向演化的非线性矩阵方程，下面用Template:Math表示。这个方程也被称为离散动力黎卡提方程，当据线性矩阵差分方程演化的变量向量受外源向量的控制，以优化二次损失函数时，就会产生这个方程。黎卡提方程形式如下：

${𝐇}_{t-1}=𝐊+{𝐀}^{\prime }{𝐇}_t𝐀-{𝐀}^{\prime }{𝐇}_t𝐂{[{𝐂}^{\prime }{𝐇}_t𝐂+𝐑]}^{-1}{𝐂}^{\prime }{𝐇}_t𝐀$

其中Template:Math、Template:Math、Template:Math尺寸为Template:Math；Template:Math尺寸为Template:Math；Template:Math尺寸为Template:Math，Template:Math是受控向量元素数，Template:Math是控制向量元素数。参数矩阵Template:Math、Template:Math来自线性方程，参数矩阵Template:Math、Template:Math来自二次损失函数。详见此处。

一般来说，该方程无法根据Template:Mvar分析求解Template:Math，而是通过迭代黎卡提方程，求出Template:Math的值序列。不过，已经证明，若Template:Math、Template:Math，则可将黎卡提方程简化为标量有理差分方程分析求解；对任意Template:Mvar、Template:Mvar，若转移矩阵Template:Math可逆，则黎卡提方程就可根据矩阵特征值进行分析求解，尽管特征值可能要用数值计算才能找到。

在大多数情况下，Template:Math随时间的演化是稳定的，也就是说Template:Math会收敛到特定的常矩阵Template:Math，其他矩阵都有理时也可能是无理的。参见隨機控制#離散時間系統。

相关的黎卡提方程是

${𝐗}_{t+1}=-[𝐄+𝐁{𝐗}_t]{[𝐂+𝐀{𝐗}_t]}^{-1}$

其中Template:Math全都是Template:Math方阵。这个方程可以显式求解。假设${𝐗}_t={𝐍}_t{𝐃}_t^{-1}$，在Template:Math时Template:Math、Template:Math显然成立。然后将其用于差分方程，得出

$\begin{array}{cc}{𝐗}_{t+1}& =-[𝐄+{𝐁𝐍}_t{𝐃}_t^{-1}]{𝐃}_t{𝐃}_t^{-1}{[𝐂+{𝐀𝐍}_t{𝐃}_t^{-1}]}^{-1}\\ & =-[{𝐄𝐃}_t+{𝐁𝐍}_t]{\left[[𝐂+{𝐀𝐍}_t{𝐃}_t^{-1}]{𝐃}_t\right]}^{-1}\\ & =-[{𝐄𝐃}_t+{𝐁𝐍}_t]{[{𝐂𝐃}_t+{𝐀𝐍}_t]}^{-1}\\ & ={𝐍}_{t+1}{𝐃}_{t+1}^{-1}\end{array}$

因此通过归纳法，形式${𝐗}_t={𝐍}_t{𝐃}_t^{-1}$对所有Template:Mvar都成立。那么Template:Math、Template:Math的演化可写为

$\left[\begin{array}{c}{𝐍}_{t+1}\\ {𝐃}_{t+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-𝐁& -𝐄\\ 𝐀& 𝐂\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{𝐍}_t\\ {𝐃}_t\end{array}\right]\equiv 𝐉\left[\begin{array}{c}{𝐍}_t\\ {𝐃}_t\end{array}\right]$

因此可归纳

$\left[\begin{array}{c}{𝐍}_t\\ {𝐃}_t\end{array}\right]={𝐉}^t\left[\begin{array}{c}{𝐍}_0\\ {𝐃}_0\end{array}\right]$

另见

• 矩阵微分方程
• 差分方程
• 线性差分方程
• 动力系统
• 代数Riccati方程