特徵方程式

Template:NoteTA Template:Distinguish 特徵方程式（characteristic equation）或輔助方程式（auxiliary equation）為数学名詞，是對應Template:Mvar階微分方程或Template:Link-en的Template:MvarTemplate:Link-en代數方程式。只有線性齊次常系數的微分方程或差分方程才有特徵方程式。考慮一微分方程，其因变量為Template:Mvar，Template:Math為常数

$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0,$

其特徵方程式如下

$a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0=0$

根據其解Template:Math可以產生微分方程的通解。而一個線性差分方程

$y_{t+n}=b_1{y}_{t+n-1}+\cdots +b_n{y}_t$

也有其特徵方程式

$r^n-b_1{r}^{n-1}-\cdots -b_n=0,$

特徵方程式的根也可以提供動態方程的特性資訊。若是一個自變數為時間的微分方程，其應變數稳定的充份必要條件是每一個根的實部都是負值。若是差分方程，穩定的充份必要條件是每一個根的绝对值都小於1。針對這兩種系統，若是有复数根，表示其解會振盪。

線性常係數常微分方程的积分求解法是由萊昂哈德·歐拉發現，他也發現了其解的特性和代數的「特徵方程」有關。後來法國科學家奧古斯丁·路易·柯西及加斯帕尔·蒙日也提及歐拉的特徵方程，而且提到不少細節。

推導

考慮常係數的線性齊次微分方程 Template:Math,

$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$

假設Template:Math，而指數函數Template:Math的導數是本身的倍數，Template:Math, Template:Math，Template:Math。因此上式中的每一項都會是Template:Math的倍數。若Template:Mvar為特定值，可以讓Template:Math的倍數變為0，這樣即可求解齊次微分方程。為了求解Template:Mvar，可以將Template:Math及其導數替換到微分方程中，可以得到

$a_n{r}^n{e}^{rx}+a_{n-1}{r}^{n-1}{e}^{rx}+\cdots +a_{1}r{e}^{rx}+a_0{e}^{rx}=0$。

因為Template:Math不會為零，因此其係數必須為零，可以得到以下的特徵方程式

$a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0=0$

求解特徵方程式中的Template:Mvar，可以求得微分方程的通解。例如，若Template:Mvar為3，其通解為Template:Math，其中Template:Mvar為積分常數。

有關通解的公式

找到特徵方程式的根Template:Math，就可以找到微分方程的通解。特徵方程式的根可能是实数或複數，可能都是不同的值，也可能會有相同的值（重根）。若特徵方程式的根有相異的實根，另外有Template:Mvar個重根，或是Template:Mvar個複數的根，其解分別為Template:Math, Template:Math及Template:Math，因此通解為

$y(x)=y_{\mathrm{D}}(x)+y_{{\mathrm{R}}_1}(x)+\cdots +y_{{\mathrm{R}}_h}(x)+y_{{\mathrm{C}}_1}(x)+\cdots +y_{{\mathrm{C}}_k}(x)$

例子

以下是常係數的線性齊次微分方程

$y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y^{″}-20y^{\prime }-12y=0$

其特徵方程為

$r^5+r^4-4r^3-16r^2-20r-12=0$

將特徵方程因式分解，可得到

$(r-3){(r^2+2r+2)}^2=0$

可以看到Template:Mvar的解有一個單根，Template:Math以及重根的複數根Template:Math，因此其通解為

$y(x)=c_1{e}^{3x}+e^{-x}(c_2\cos x+c_3\sin x)+x{e}^{-x}(c_4\cos x+c_5\sin x)$

其中有常數Template:Math。

相異實根

根據應用在常係數線性齊次微分方程的叠加原理，若Template:Math是特定微分方程的Template:Mvar個線性無關的解，則Template:Math也是其解，其中Template:Math為任意常數。因此，若特徵方程有相異實根Template:Math，則通解為

$y_{\mathrm{D}}(x)=c_1{e}^{r_{1}x}+c_2{e}^{r_{2}x}+\cdots +c_n{e}^{r_{n}x}$。

重根實根

若特徵方程式中有重複Template:Mvar次的根Template:Math，可以確定Template:Math會是微分方程的解，不過這個解沒有針對其他Template:Math的根提供線性獨立的解。因為Template:Math為Template:Mvar次重根，可以將微分方程改寫為

${(\frac{d}{dx}-r_1)}^{k}y=0$.

因為Template:Math為其中的一個解，因此可以令通解為以下的形式Template:Math，其中 Template:Math是待確認的函數。將Template:Math代入後可得

$(\frac{d}{dx}-r_1)u{e}^{r_{1}x}=\frac{d}{dx}\left(u{e}^{r_{1}x}\right)-r_{1}u{e}^{r_{1}x}=\frac{d}{dx}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}u{e}^{r_{1}x}-r_{1}u{e}^{r_{1}x}=\frac{d}{dx}(u)e^{r_{1}x}$

其中Template:Math。上述的式子應用Template:Mvar次，可以得到

${(\frac{d}{dx}-r_1)}^{k}u{e}^{r_{1}x}=\frac{d^k}{d{x}^k}(u)e^{r_{1}x}=0$

除以Template:Math後可得

$\frac{d^k}{d{x}^k}(u)=u^{(k)}=0$

上述式子若且唯若Template:Math是Template:Math次的多項式，因此Template:Math.。因為Template:Math，因此通解中對應Template:Math的解會是

$y_{\mathrm{R}}(x)=e^{r_{1}x}(c_1+c_{2}x+\cdots +c_k{x}^{k-1})$

複數根

若二階微分方程有共轭复数根Template:Math及Template:Math，其對應的通解為Template:Math。利用欧拉公式（Template:Math），可以將通解改寫如下：

$\begin{array}{cc}y(x)& =c_1{e}^{(a+bi)x}+c_2{e}^{(a-bi)x}\\ & =c_1{e}^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_2{e}^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\ & =(c_1+c_2)e^{ax}\cos bx+i(c_1-c_2)e^{ax}\sin bx\end{array}$

其中Template:Math和Template:Math是係數，不過可能不是實數，而且隨初始條件而不同（因為Template:Math是實數，Template:Math需要是虛數或是零，Template:Math為實數，為了要讓等號右邊為實數）

例如，若Template:Math，可以得到特解Template:Math，另外，若Template:Math及Template:Math，可以得到另一個獨立的解Template:Math。利用重疊原則，有Template:Math複根的常係數線性齊次微分方程，其通解如下：

$y_{\mathrm{C}}(x)=e^{ax}(c_1\cos bx+c_2\sin bx)$

上述的分析也可以應用在高階微分方程，其特徵方程式中也可能有非實數的共軛根。