黎卡提方程

Template:Expand language 黎卡提方程是形式如 $y^{'} = q_{0} (x) + q_{1} (x) y + q_{2} (x) y^{2}$ 的常微分方程。該方程以義大利數學家雅各布·黎卡提命名。

解法

先同乘 $q_{2} (x)$ ，使得 $q_{2} y^{'} = q_{0} q_{2} + q_{1} q_{2} y + q_{2}^{2} y^{2}$

再以 $v = y q_{2}$ 代入：

v^{'} = v^{2} + P (x) v + Q (x)

；其中令

Q (x) = q_{0} q_{2}; P (x) = q_{1} + \frac{{q_{2}}^{'}}{q_{2}}

。

再以 $v = - \frac{u^{'}}{u}$ 代入上式。

$v^{'} = - (\frac{u^{'}}{u}) = - \frac{u^{″}}{u} + {(\frac{u^{'}}{u})}^{2} = - \frac{u^{″}}{u} + v^{2}$

则

\frac{u^{″}}{u} = v^{2} - v^{'} = - Q - P v = - Q + P \frac{u^{'}}{u}

因此

u^{″} - P u^{'} + Q u = u^{″} - (q_{1} + \frac{{q_{2}}^{'}}{q_{2}}) u^{'} + q_{0} q_{2} u = 0

最终 $y = - \frac{u^{'}}{q_{2} u}$ .

S (w) \equiv (\frac{w^{″}}{w^{'}}) - \frac{{(\frac{w^{″}}{w^{'}})}^{2}}{2} = f

顯然可設 $y = \frac{w^{″}}{w^{'}}$ ：

y^{'} - \frac{y^{2}}{2} = f

再代入 $- \frac{2 u^{'}}{u} = y$ ，得線性微分方程：

u^{″} - \frac{1}{2} f u = 0

因為 $\frac{w^{″}}{w^{'}} = - \frac{2 u^{'}}{u}$ ，積分得 $w^{'} = \frac{C}{u^{2}}$ 。另一方面，若線性微分方程有其他線性獨立解U，則有：

w^{'} = \frac{U^{'} u - U u^{'}}{u^{2}}

w = \frac{U}{u}

已知 $y = y_{1}$ 是一特定解，可設通解 $y = y_{1} + \frac{1}{z}$ ，代入整理得一階線性常微分方程：

z^{'} + (q_{1} + 2 q_{2} y_{1}) z = - q_{2}