有限域

Template:NoteTA 在数学中，有限域（Template:Lang-en）或伽罗瓦域（Template:Lang-en，为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名）是包含有限个元素的域。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 Template:Math 为素数时，整数对 Template:Math 取模。

有限域的元素个数称为它的阶。

有限域在许多数学和计算机科学领域的基础，包括数论、代数几何、伽羅瓦理論、有限幾何學、密码学和编码理论。

定理

• 有限域的阶（有限域中元素的个数）是一个素数的幂。
• 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存在惟一的$p^n$阶的有限域，并且所有元素都是方程 $x^{p^n}-x=0$ 的根，该域的特征为p。
• 有限域的乘法群是循环群。即若F是有限體，则存在$\alpha \in F$使得$F^{*}=\{x\in F|x\ne 0\}=⟨\alpha ⟩$。
• 有限域是完美域，即它的任何代数扩张一定是可分扩张。
• 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张，并且对应的伽罗瓦群是循环群。

存在性與唯一性

設 Template:Math 為質數冪， Template:Math 為多項式

$P=X^q-X$

於質數域 Template:Math 上的分裂域。換言之， Template:Math 是最低階的有限域，使得 Template:Math 在 Template:Math 內有 Template:Math 個互異的根（注意 Template:Math 的Template:Link-en為 $-1\ne 0$ ，因此 Template:Math 無重根）。

利用二項式定理，可證恆等式

$(x+y{)}^p=x^p+y^p$

在特徵為 Template:Math 的域上成立（中一新生之夢）。此恆等式說明 Template:Math 任兩根之和或積仍為 Template:Math 的根。同時， Template:Math 的根的乘法逆元仍是根，因此 Template:Math 的根構成一個 Template:Math 階的域。由 Template:Math 的最小性，可知此域即為 Template:Math。

由於分裂域在同構意義下唯一， Template:Math 階域也在同構意義下唯一（已證其為 $P=X^q-X$ 的分裂域）。而且，若域 Template:Mvar 有一個階為 $q=p^k$ 的子域，則其元素恰為 $X^q-X$ 的 Template:Mvar 個根，所以 Template:Mvar 不能包含另一個階為 Template:Mvar 的子域。

E·H·摩爾於 1893 年證明了以下的分類定理，可作為本節的總結：

有限域的階為質數冪。對任意一個質數冪 Template:Math 都存在 Template:Math 階的域，並且任意兩個 Template:Math 階的域都同構。該些域中，任意的元素 Template:Math 都滿足

$x^q=x,$

且多項式 Template:Math 可分解成

$X^q-X=\prod _{a\in F}(X-a).$

由此可知，Template:Math 有同構於 Template:Math 的子域當且僅當 Template:Math 整除 Template:Math；該情況下，僅有唯一的子域與 Template:Math 同構。多項式 Template:Math 整除 Template:Math 也是當且僅當 Template:Math 整除 Template:Math

弗羅貝尼烏斯自同構和伽羅瓦理論

設 Template:Math 為質數， Template:Math 為質數冪。

在 Template:Math 中，恆等式 Template:Math 說明映射

$\phi :x\mapsto x^p$

是 Template:Math 上 Template:Math-線性的域自同構，其保持子域 Template:Math 的元素。該映射稱為弗罗贝尼乌斯自同構，得名於费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。

記 Template:Math 為 Template:Math 的 Template:Math 次疊代，則

${\phi }^k:x\mapsto x^{p^k}.$

此前已證明 Template:Math 為恆同映射。若 Template:Math, 則自同構 Template:Math 並非恆同映射，否則多項式

$X^{p^k}-X$

就有多於 Template:Math 個根，矛盾。

此外 Template:Math 並無其他 Template:Math-自同構。換言之，Template:Math 恰有 Template:Math 個 Template:Math-自同構，其為

$\mathrm{I}\mathrm{d}={\phi }^0,\phi ,{\phi }^2,\dots ,{\phi }^{n-1}.$

以伽羅瓦理論觀之， Template:Math 是 Template:Math 的伽羅瓦擴展，且其伽羅瓦群為循環群。

弗羅貝尼烏斯映射為滿射，因此任意一個有限域都是Template:Link-en。

一些小型的有限域

F₂:

+ 0 1 0 0 1 1 1 0

· 0 1 0 0 0 1 0 1

F₃:

+ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

· 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

F₄: 考虑$x^2+x+1=0,$ 方程的根不在F₂中。記其中一根為A, 則$A^2+A+1=0,$且另一根為 $B=A^2.$

+ 0 1 A B 0 0 1 A B 1 1 0 B A A A B 0 1 B B A 1 0

· 0 1 A B 0 0 0 0 0 1 0 1 A B A 0 A B 1 B 0 B 1 A

参考文献

• 《近世代数》

参见

• 域论