中一新生之夢

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形象化表達「Freshman's dream」的錯誤之處：上圖的正方形邊長為X+Y，正方形總面積為黃色正方形（=X²）、綠色正方形（=Y²)，以及兩個常被忽略的白色長方形（=2×X×Y）。

Template:Lang（中文可譯「新手之夢」）指的是錯誤方程式「$(x+y{)}^n$ = $x^n+y^n$」，當中 $n$ 是一個實數（通常是大於1的正整數）。初階學生經常誤以為括號外的次方可以直接分配給括號內的項。其實只要假設 $n=2$ 就可以簡單發現方程式並不成立：透過乘法分配律，$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$。至於 $n$ 值更大的方程式，則可以使用二项式定理計算正確答案。

在熱帶幾何的世界，加法取代了乘法，而极值取代了加法。在此情況下，「Freshman's dream」便是正確。

「Freshman's dream」也可代指另一項定理，$(x+y{)}^p=x^p+y^p$，當中 $p$ 是質數，而 $x$ 和 $y$ 是在具有 $p$ 特徵的交換環上的代數。由於 $p$ 能夠整除首項和末項以外的二項式係數，使中間的所有項都等於零，所以這個「錯誤」實際上可以做到正確答案。

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歷史與別名

1940年一篇有關模曲線的文章中，桑德斯·麥克蘭恩引用斯蒂芬·科尔·克莱尼指出，特徵為2的體中的公式「$(a+b{)}^2=a^2+b^2$」，有可能破壞中一新生的代數觀念。此為可追溯的最早將「中一新生之夢」與正特徵體的二項式展開公式連繫起來的言論，自此大部分代數課本都提及這個慣常誤解，其中1974年Template:Tsl的代數課本似乎是首次使用「Freshman's dream」一詞。別名包括1998年莊·法黎課本中的「Template:Lang」（中文可譯「中一新生之冪」）；又鑑於$(x+y{)}^n$可透過二项式定理計算，因而又被稱爲「小孩的二項式定理」（Template:Lang）或「中學生的二項式定理」（Template:Lang）。

至於「Freshman's dream」一詞則自19世紀起已在非數學範疇使用。

例子

• $(1+4{)}^2=5^2=25$，但$1^2+4^2=17$.
• $(x^2+y^2{)}^{\frac{1}{2}}$（即 $\sqrt{x^2+y^2}$ ）在大多數情況下都不等於$\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}=|x|+|y|$。例如：$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，而$3+4=7$。

質數定理

當 $p$ 是質數，而 $x$ 和 $y$ 是在具有 $p$ 特徵的交換環上的代數，那麼 $(x+y{)}^p=x^p+y^p$。此理論可透過研究二項式係數的質數因數而論證：

第 n 個二項式係數為 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{n})=\frac{p!}{n!(p-n)!}$。

由於分子是 $p$ 的階乘，所以可以被 $p$ 整除。不過當 $0<n<p$ 之時，$n!$ 和 $(p-n)!$ 都少於 $p$，因而兩者都不能被整除。但二項式係數必然是整數，因此第 n 個二項式係數可被 $p$ 整除，交換環繼而等於零。自此整條方程式只剩下第0個和第 p 個二項式係數，因此可證 $(x+y{)}^p=x^p+y^p$。結果也證明 p 次方製造了自同态，又稱交換環的弗罗贝尼乌斯自同态。

在此方程中，$p$ 必須是質數才可成立。有一相類近的定理指出，當 $p$ 是質數的話，在${\mathbb{Z}}_p[x]$多项式环中，$(x+1{)}^p\equiv x^p+1$。此定理成為現代質數測試中的關鍵。

參見

• 一年級生
• 素性测试
• 弗罗贝尼乌斯自同态
• 二年級之夢