整数

Template:NoteTA Template:Numbers Template:Groups 整数（Template:Lang-en）在電腦應用上也稱為整型，是集合$\{\dots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\dots \}$中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然數集合一樣，整數集合也是一個可數的無限集合。整数集合通常寫作粗體的$𝐙$或$\mathbb{Z}$（源于德语单词Zahlen，意为“数”）。

在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。

正整数与负整数

Template:Main 整數是一个集合，通常可以分为正整數、零（0）和負整數。正整數（符号：Z⁺或${\mathbb{Z}}^{+}$）即大於0的整數，是正数与整数的交集。而負整數（符号：Z^-或${\mathbb{Z}}^{-}$）即小於0的整數，是负数与整数的交集。和整數一样，两者都是可數的無限集合。除正整數和負整數外，通常将0與正整數统称为非負整數（符号：Z⁺₀或${\mathbb{Z}}_0^{+}$），而将0與負整數统称为非正整數（符号：Z^-₀或${\mathbb{Z}}_0^{-}$）。在数论中自然数$\mathbb{N}$通常被视为与正整數等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。

代数性质

下表给出任何整数$a,b,c$的加法和乘法的基本性质。

性質	加法	乘法
封闭性	$a+b$是整数	$a\times b$是整数
结合律	$a+(b+c)=(a+b)+c$	$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$
交换律	$a+b=b+a$	$a\times b=b\times a$
存在单位元	$a+0=a$	$a\times 1=a$
存在逆元	$a+(-a)=0$	在整数集中，只有1或-1对于乘法存在整数逆元，其余整数$a$关于乘法的逆元为$\frac{1}{a}$，都不为整数。
分配律	$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

$\mathbb{Z}$是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是$\mathbb{Z}$仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与$(\mathbb{Z},+)$同构。

有序性质

$\mathbb{Z}$是一个全序集，没有上界和下界，其序列如下：

$\dots <-2<-1<0<1<2<\dots$

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

• 若$a<b$且$c<d$，则$a+c<b+d$（加法）
• 若$a<b$且$c>0$，则$a\times c<b\times c$；若$c<0$，则$a\times c>b\times c$（乘法）

整数环是一个欧几里德域。

整數集合的基數

$\mathbb{Z}$的基數（或勢）是ℵ₀，與$\mathbb{N}$相同。這可以從$\mathbb{Z}$建立一雙射函數到$\mathbb{N}$來證明，亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件，例如：

$f(x)=\{\begin{array}{cc}2x+1,& \text{if }x\ge 0\\ 2|x|,& \text{if }x<0\end{array}$

當該函數的定義域僅限於$\mathbb{Z}$，則證明$\mathbb{Z}$與$\mathbb{N}$可建立一一對應的關係，即兩集等勢。

参见

• 整數數列線上大全
• 超整數