Abc猜想

Template:NoteTA Template:更新 abc猜想（Template:Lang-en）是一個未解決的數學猜想，最先由約瑟夫·奧斯特莱及大衛·馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明，經過8年同行審查後於2020年4月发表，但对于该证明的正确性仍存在极大争议。对此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。

abc猜想若得證，數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。Template:Harv

內容

Template:Tone 對正整數$n$，$\mathrm{rad}(n)$表示$n$的質因數的積，稱為$n$的根基（radical）。例如

rad(16) = rad(2⁴) = 2,

rad(17) = 17,

rad(18) = rad(2 ⋅ 3²) = 2 · 3 = 6,

rad(1000000) = rad(2⁶ ⋅ 5⁶) = 2 ⋅ 5 = 10.

若正整數a, b, c 彼此互質，且a + b=c，「通常」會有c < rad(abc)，例如：

$a=2$, $b=7$, $c=9$：$\mathrm{rad}(abc)=42>c$。

$a=9$, $b=16$, $c=25$：$\mathrm{rad}(abc)=30>c$。

但是也有反例，例如：

$a=3$, $b=125$, $c=128$：因為$125=5^3$，$128=2^7$，故此$\mathrm{rad}(abc)=30<c$。

如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除，使rad(abc) < c，是較特殊的情況。ABC@Home計劃目的在尋找更多這樣的例子。

abc猜想（一）

對於任何$\epsilon >0$，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得

$c>\mathrm{rad}(abc{)}^{1+ϵ}$

abc猜想也有以下等價的表述方式：

abc猜想（二）

對於任何$\epsilon >0$，存在常數$C_{\epsilon }>0$，使得對於互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，有：

$c<C_{\epsilon }\mathrm{rad}(abc{)}^{1+ϵ},$

abc猜想第三個表述方式，用到了三元組(a, b, c)的品質（quality），定義為：

$q(a,b,c)=\frac{\log (c)}{\log (\mathrm{rad}(abc))}$

例如：

• q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
• q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互質正整數的三元組，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大於1的情況較少出現。

abc猜想（三）

對於任何$\epsilon >0$，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得

$q(a,b,c)>1+ϵ$

abc猜想中的ε不能去掉，不然命題就不成立。考慮以下例子：

$a_n=3^{2^n}-1$, $b_n=1$, $c_n=3^{2^n}$

這三個正整數互質，且有$a_n+b_n=c_n$。注意到$a_n$可被$2^{n+2}$整除，因此有

$\mathrm{rad}(a_n{b}_n{c}_n)\le 3\cdot 2\cdot \frac{a_n}{2^{n+2}}=\frac{3a_n}{2^{n+1}}$:

因此

$c_n>a_n\ge \frac{2^{n+1}}{3}\mathrm{rad}(a_n{b}_n{c}_n)$

當n趨向無限大時，$\frac{2^{n+1}}{3}$也趨向無限大。因此不存在常數C，使得 c < C rad(abc)對所有適合條件的三元組都成立。

可得出的結果

如果abc猜想得證，那麼有很多結果可以推導出來。其中一些結果，在abc猜想提出後，已經以其他方法得到證明，一些則仍然為猜想。

• Template:Tsl
• 費馬大定理對所有足夠大指數的情形（安德魯·懷爾斯已證一般情形） Template:Harv
• Mordell猜想（格爾德·法爾廷斯已證一般情形）Template:Harv
• Template:Tsl，除了有限多的反例。Template:Harv
• 存在無限多非維費里希素數Template:Harv
• Template:Tsl的弱形式Template:Harv
• 費馬－卡塔蘭猜想Template:Harv
• 用勒讓德符號構成的L函數L(s, χ_d)沒有西格尔零点（需要abc猜想在代數數域上的一致形式，不只在有理整數上。）Template:Harv
• 對有至少3個簡單零點的多項式P(x)，在整數x取的所有值中，只有有限個次方數。
• Template:Tsl的推廣形式，關於y^m = xⁿ + k的解的個數（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，關於Ay^m = Bxⁿ + k的解的個數。
• 等價於Granville–Langevin 猜想
• 等價於修改後的Template:TslTemplate:Harv
• Template:Tsln! + A= k²，對任何給定的整數A，都只有有限個解。Template:Harv

理論結果

abc猜想導出c有abc的根基的接近線性函數的上界；不過，現在已知的是指數上界。確切結果如下：

$c<\exp (K_1\mathrm{rad}(abc{)}^{15})$ Template:Harv,

$c<\exp (K_2\mathrm{rad}(abc{)}^{\frac{2}{3}+\epsilon })$ Template:Harv,

$c<\exp (K_3\mathrm{rad}(abc{)}^{\frac{1}{3}+\epsilon })$ Template:Harv.

上述的上界中，K₁是不依賴a, b, c的常數，而K₂和K₃是（以可有效計算的方式）依賴於ε的常數，但不依賴於a, b, c。上述的上界對c > 2的三元組都成立。

計算結果

2006年，荷蘭的萊頓大學數學系與Kennislink科學研究所合作，開展ABC@Home計劃。這個計劃是網格計算系統，目的在找出更多的正整數三元組a, b, c使得rad(abc) < c。雖然有無限個例子或反例不能解決abc猜想，但是期望藉著這個計劃發現的三元組的模式，可以得出對這個猜想以至於數論的新的洞見。

下述的q是上節定義的品質。

符合q > 1的三元組分佈

	q > 1	q > 1.05	q > 1.1	q > 1.2	q > 1.3	q > 1.4
c < 102	6	4	4	2	0	0
c < 103	31	17	14	8	3	1
c < 104	120	74	50	22	8	3
c < 105	418	240	152	51	13	6
c < 106	1,268	667	379	102	29	11
c < 107	3,499	1,669	856	210	60	17
c < 108	8,987	3,869	1,801	384	98	25
c < 109	22,316	8,742	3,693	706	144	34
c < 1010	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
c < 1011	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
c < 1012	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
c < 1013	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
c < 1014	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
c < 1015	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
c < 1016	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
c < 1017	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
c < 1018	14,482,065	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

Template:As of，ABC@Home找出 2380 萬個三元組，現今目標在找出c不大於2⁶³的所有三元組(a,b,c)。

Template:Visible anchor

	q	a	b	c	發現者
1	1.6299	2	310·109	235	Eric Reyssat
2	1.6260	112	32·56·73	221·23	Benne de Weger
3	1.6235	19·1307	7·292·318	28·322·54	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4	1.5808	283	511·132	28·38·173	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5	1.5679	1	2·37	54·7	Benne de Weger

歷史

1996年，艾倫·貝克（Alan Baker）提出一個較為精確的猜想，將$\mathrm{rad}(abc)$用${\epsilon }^{-\omega }\mathrm{rad}(abc)$取代，在此$\omega$是$a,b,c$的不同質因數的數目。

2007年，呂西安·施皮羅嘗試給出證明，後來被發現有錯誤。

2012年8月，日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明，以他建立的宇宙際泰赫米勒理論（inter-universal Teichmüller theory）為基礎。該證明目前正由其他數學專家檢查中。当Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月发现一处错误时，望月新一在他的网站确认了此错误，并声称这个错误能够在近期修补，不会影响最后的结果。2012年12月，望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屡次对文章进行了修订，新修正了18处错误，當中很多也是打字错误。望月新一在網上公開了2013年以及2014年的檢驗進度報告。2018年8月，皮特·舒爾策和Template:Le指出，望月新一的證明論文中 Corollary 3.12 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。望月認為二者的批評存在“某種根本上的誤解”。

參見

• 根基
• Mason-Stothers定理—多項式環上的對應定理

参考文献

来源

• Template:Cite book
• Template:Cite book
• Template:Cite journal
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外部連結

• ABC@homeTemplate:Wayback 分布式计算项目ABC@Home.
• Easy as ABCTemplate:Wayback: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
• Template:MathWorld
• Abderrahmane Nitaj's ABC conjecture home page
• Bart de Smit's ABC Triples webpageTemplate:Wayback
• -{R|http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf}-Template:Wayback
• The amazing ABC conjectureTemplate:Wayback
• The ABC's of Number Theory by Noam D. Elkies
• Questions about NumberTemplate:Wayback by Barry Mazur
• Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjectureTemplate:Wayback on MathOverflow
• ABC ConjectureTemplate:Wayback Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.