狄利克雷L函數

在數學中，狄利克雷L函數是狄利克雷級數的特例，它是形如下式的複變數函數

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}.$

在此 $\chi$ 是一個狄利克雷特徵，$s\in ℂ$ 的實部大於一。此函數可解析延拓為整個複平面上的亞純函數。

約翰·彼得·狄利克雷證明對所有 $\chi$ 具有 $L(1,\chi )\ne 0$，並藉此證明狄利克雷定理。若 $\chi$ 是主特徵，則 $L(s,\chi )$ 在 $s=1$ 有單極點。

零點

• 若 $\chi$ 是原特徵，$\chi (-1)=1$，則 $L(s,\chi )$ 在 $\mathrm{R}\mathrm{e}(s)<0$ 的零點是負偶數。
• 若 $\chi$ 是原特徵，$\chi (-1)=-1$，則 $L(s,\chi )$ 在 $\mathrm{R}\mathrm{e}(s)<0$ 的零點是負奇數。

不論可能的西格爾零點，狄利克雷L函數有與黎曼ζ函數相似的無零點區域，包括 $\{s:\mathrm{R}\mathrm{e}(s)\ge 1\}$。一如黎曼ζ函數，狄利克雷L函數也有相應的廣義黎曼猜想。

函數方程

假設 $\chi$ 是模 $k$ 的原特徵。定義

$\mathrm{\Lambda }(s,\chi )={\left(\frac{\pi }{k}\right)}^{-(s+a)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s+a}{2}\right)L(s,\chi ),$

此處 $\mathrm{\Gamma }$ 表Γ函數，而符號 $a$ 由下式給出

$a=\{\begin{array}{cc}0,& \chi (-1)=1,\\ 1,& \chi (-1)=-1,\end{array}$

則有函數方程

$\mathrm{\Lambda }(1-s,\bar{\chi })=\frac{i^a{k}^{1/2}}{\tau (\chi )}\mathrm{\Lambda }(s,\chi ).$

此處的 $\tau (\chi )$ 表高斯和

$\sum _{n=1}^k\chi (n)\exp (2\pi in/k).$

我們亦有 $|\tau (\chi )|=k^{\frac{1}{2}}$。

文獻

• Template:Cite book