Mason-Stothers定理

Mason-Stothers定理，或簡稱Mason定理，是數學上關於多項式的定理，而這定理類似於整數上的abc猜想。這定理以1981年出版相關論述的Walter Wilson Stothers^[1]以及稍後獨立發現這定理的R. C. Mason^[2]為名。

此定理陳述如下：

設Template:Math、Template:Math、Template:Math為一個域上彼此互質的多項式、Template:Math的導數不全是0（Vanishing）導數的多項式，那麼有

\max {\deg (a), \deg (b), \deg (c)} \leq \deg (rad (a b c)) - 1 .

其中Template:Math是Template:Mvar所有相異的不可約多項式的乘積。對於代數閉域而言，這是與Template:Mvar有相同的根的最小多項式；在這狀況下，Template:Math即代表Template:Mvar彼此相異的根的數量。^[3]

例子

對特徵為0的域而言，Template:Mvar、Template:Mvar、Template:Mvar不全为0（Vanishing）導數的多項式的等價條件是這些多項式不全是常數。對於特徵為Template:Math的域而言，假定這些多項式不全是常數並不足夠，像例如說，對特徵為Template:Mvar的域而言，Template:Math這等式可給出三個多項式（其中Template:Mvar與Template:Mvar是等號左邊的加數，而Template:Mvar放在等號右邊）的最大次數為Template:Mvar，但其根基（也就是相異的根的數量）的次數僅僅為Template:Math。
設Template:Math及Template:Math可給出使得Mason-Stothers定理等號成立的例子，而這顯示說在一些狀況下，不等式是最佳可能。
Mason-Stothers定理的一個推論是費馬最後定理在函數域上的類比：對於彼此互質的多項式Template:Mvar、Template:Mvar、Template:Mvar，若Template:Math且相關聯的域的特徵不能除盡Template:Mvar且Template:Math，那麼Template:Mvar、Template:Mvar、Template:Mvar至少有一個為0或者這三個多項式全是常數。

Template:Harvtxt給出了以下關於Mason-Stothers定理的初等證明：^[4]

第二步、Template:Math、Template:Math、Template:Math這三個導數至少有一個不全為0（Vanishing）及Template:Mvar、Template:Mvar、Template:Mvar彼此互質這兩點表示說Template:Mvar不等於零。

像例如說，若Template:Math，那麼Template:Math，故Template:Mvar可除盡Template:Math（而這是因為Template:Mvar與Template:Mvar彼此互質），因此Template:Math，而這是因為在Template:Mvar非常數的狀況下，有Template:Math之故。

第三步、Template:Mvar同時可被Template:Math、Template:Math以及Template:Math這三組最大公因數除盡。由於這些多項式彼此互質之故，因此Template:Mvar可被其乘積除盡；且因Template:Mvar不等於零之故，因此有

第四步、將上式以下列不等式取代：

Template:Math − （Template:Mvar相異的根的數量）

（其中根取自某個代數閉包）且因為

之故，因此有

而這正是所要證明的。

這定理有一個將多項式環以Template:Link-en取代的自然推廣，該推廣如下：

a, b \in k (C)

為一個Template:Mvar並滿足 $a + b = 1$ 的有理函數，並設Template:Mvar為Template:Math中包含Template:Mvar及Template:Mvar所有零點和極點的集合，那麼有

\max {\deg (a), \deg (b)} \leq \max {| S | + 2 g - 2, 0} .

其中函數在Template:Math的次數是相應映射從Template:Mvar映至^{P^1}的次數。而一個不同且較短的證明在同年由Template:Link-en發表。^[5]

此外還有一個推廣，這推廣由Template:Link-en^[6]、 Template:Link-en及Template:Link-en等人獨立發現，^[7]此推廣給出了在Template:Math的子集沒有一個是Template:Mvar─線性獨立的狀況下，有Template:Mvar個變數的Template:Mvar單位等式Template:Math的上界，他們證明了下式：

\max {\deg (a_{1}), \dots, \deg (a_{n})} \leq \frac{1}{2} n (n - 1) \max {| S | + 2 g - 2, 0}