2i

Template:NoteTA Template:Other uses {{#invoke:TemplateVariadicArgumentSingle|build_template |_core_template=Template:Infobox number/core |_core_args=lang |_core_insert_code= | lang$ = {{{lang$|}}} | lang$ symbol = {{{lang$ symbol|}}} }} Template:高斯整數導航 $2i$是在虛數軸正向距離原點兩個單位的純虛數，屬於高斯整數Template:Rp，為虛數單位的兩倍Template:Rp，同時也是負四的平方根Template:RpTemplate:Rp，是方程式$x^2+4=0$的正虛根Template:Rp。日常生活中通常不會用$2i$來計量事物，例如無法具體地描述何謂$2i$個人，邏輯上$2i$個人並沒有意義。部分書籍或教科書偶爾會使用$2i$來做虛數的例子或題目。

在高斯平面上，與$2i$相鄰的高斯整數有$i$和$3i$（上下相鄰；純虛數）以及$2i-1$和$2i+1$（左右相鄰），然而複數不具備有序性，即無法判斷$2i$與$3i$間的大小關係，因此無法定義$i$與$3i$何者為$2i$的前一個虛數、何者為$2i$的下一個虛數。

−1+3i	Template:Math[[3i|Template:Math]]	1+3i
[[−1+2i|Template:Math]]	Template:Math	[[1+2i|Template:Math]]
[[−1+i|Template:Math]]	[[虛數單位|Template:Math]]	[[1+i|Template:Math]]
與$2i$相鄰的高斯整數示意圖

性質

• $2i$不屬於實數，是一個純虛數，同時也是複數位於複數平面，其實部為0、虛部為2，輻角為90度（$\frac{\pi }{2}$弧度），其也能表達為$2e^{i\pi /2}$Template:Rp或$2(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2})$。
• $2i$是一個高斯整數，高斯整數分解為$(1+i{)}^2$Template:Rp，或$(1+i)(1+i)$Template:Rp，其中，Template:Math為Template:Math的高斯質因數。Template:RpTemplate:Rp
• 所有複數的可以表達為$2i$之冪的線性組合。換句話說若進位制以$2i$為底數，則可獨一無二地表示全體複數。該進制稱為2i進制，由高德納於1955年發現。
• 複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以$2i$的商，換言之，則$z-z^{*}=2iIm(z)$。Template:Rp

  $Im(z)=\frac{z-z^{*}}{2i}$

• 正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以$2i$的商。Template:RpTemplate:Rp

  $\sin (z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$

• $2i$等於最小的質數和虛數單位的積，即$p_{{}_1}\times i=2i$，其中$p_n$為第$n$個質數。
• 虛數單位和虛數單位的倒數相差$2i$。
• 任意數與$2i$相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉90度。Template:RpTemplate:Rp

Template:Math的冪

$2i$的前幾次冪為Template:Math...，其會在實部和虛部交錯變換，其單位會在Template:Math中變化。其中，實數項為−4的冪 ，虛數的正值項為16的冪的2倍 、虛數的負值項為16的冪的−8倍，因此這種特性使得$2i$作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數，並且有研究以此特性設計複數運算電路。

Template:Math的平方根

$2i$的平方根正好是實數單位與虛數單位的和，即$\sqrt{2i}=1+i$Template:Rp，反過來說$2i$正好是實數單位與虛數單位相加的平方，$(1+i{)}^2=2i$Template:Rp。若考慮平方根的正負，則[[#1+i|Template:Math]]和[[#-1-i|Template:Math]]都是$2i$的平方根。

相關數字

Template:AnchorTemplate:Math

$-2i$是$2i$的相反數，其平方根曾提議作為複數進位制的底數。

Template:Math

$1+i$是$2i$的平方根，同時也是高斯質數。由於其冪次為Template:Math，在正負、虛實交替變化，因此若作為進位制底數可以表達全體複數。但其組合變化相較於$-1+i$為底數的進位制，$-1+i$做為底數更為適合。Template:Invisible anchor

Template:AnchorTemplate:Math

{{#invoke:TemplateVariadicArgumentSingle|build_template |_core_template=Template:Infobox number/core |_core_args=lang |_core_insert_code= | lang$ = {{{lang$|}}} | lang$ symbol = {{{lang$ symbol|}}} }}

在Template:Math進位制系統中整數部分全為零的複數

Template:See also $-1+i$是$-2i$的平方根。距離原點$\sqrt{2}$單位，輻角為135度（$\frac{3\pi }{4}$弧度），其實部為負一、虛部為1。$-1+i$不是高斯質數，其可以分解為Template:Math和Template:Math的乘積。由於其冪次為Template:Math，其在正負、虛實交替變化，Template:Vanchor。其他複數雖然也可以，Template:Invisible anchor

除了$-1+i$外，其他$-n+i$形式的複數也能作為進位制底數，但其在表達數的範圍不同，以$-1+i$為例，其表達的範圍較為均勻，而$-2+i$、$-3+i$等則會越來越狹長。

Template:Math進制與相關進制比較

十進制	二進制	2i進制	Template:Math進制	Template:Math進制
0	Template:進制	Template:進制	Template:進制	Template:進制
1	Template:進制	Template:進制	Template:進制	Template:進制
2	Template:進制	Template:進制	Template:進制	Template:進制
−1	Template:進制	Template:進制	Template:進制	Template:進制
−2	Template:進制	Template:進制	Template:進制	Template:進制
Template:Math	Template:Math	Template:進制	Template:進制	Template:進制
Template:Math	Template:Math	Template:進制	Template:進制	Template:進制
Template:Math	Template:Math	Template:進制	Template:進制	Template:進制
Template:Math	Template:Math	Template:進制	Template:進制	Template:進制
Template:Math	Template:Math	Template:進制	Template:進制	Template:進制
Template:Math	Template:Math	Template:進制	Template:進制	Template:進制
Template:Math	Template:Math	Template:進制	Template:進制	Template:進制
Template:Math	Template:Math	Template:進制	Template:進制	Template:進制
Template:Math	Template:Math	Template:進制	Template:進制	Template:進制
Template:Math	Template:Math	Template:進制	Template:進制	Template:進制
Template:Math	Template:Math	Template:進制	Template:進制	Template:進制
Template:Math	Template:Math	Template:進制	Template:進制	Template:進制
Template:Math	Template:Math	Template:進制	Template:進制	Template:進制
Template:Math	Template:Math	Template:進制	Template:進制	Template:進制

相鄰的高斯整數

−1+3i	Template:Math[[3i|Template:Math]]	1+3i
[[−1+2i|Template:Math]]	[[#top|Template:Math]]	[[1+2i|Template:Math]]
[[−1+i|Template:Math]]	[[虛數單位|Template:Math]]	[[1+i|Template:Math]]
與$2i$相鄰的高斯整數示意圖

Template:Math

Template:Redirect2 $3i$是在虛數軸正向距離原點3個單位的純虛數，是虛數單位的三倍，同時也是負九（−9）的平方根，與純虛數[[#top|Template:Math]]和Template:Math相鄰、並與高斯整數Template:Math和Template:Math相鄰。

$3i$的為虛數單位與質數3的乘積，其中，3也是高斯質數，因此$3i$的高斯整數分解為Template:質因數分解。

Template:Math

$-1+2i$是在虛數軸正向距離原點$\sqrt{5}$個單位的高斯整數，其實部為負一、虛部為[[#top|Template:Math]]，與純虛數Template:Math相鄰、並與高斯整數Template:Math、Template:Math和Template:Math相鄰。

$-1+2i$不是高斯質數，其具有高斯質因數$2+i$。$-1+2i$的高斯整數分解為Template:質因數分解。

Template:Math

$1+2i$是一個高斯質數 ，在虛數軸正向距離原點$\sqrt{5}$個單位，其實部為一、虛部為[[#top|Template:Math]]，與純虛數Template:Math相鄰、並與高斯整數Template:Math、Template:Math和Template:Math相鄰。

參見

• 虛數單位
• -2