Cis函數

Template:Expand language Template:Lowercase Template:Distinguish Template:函數圖形 Template:函數 在微积分学中，cis函數又稱純虛數指數函數，是複變函數的一种，和三角函數類似，其可以使用正弦函數和餘弦函數$\mathrm{cis}x=\cos x+i\sin x$來定義，是一種實變數Template:Link-en，其中$i$為虛數單位，而cis則為Template:Math的縮寫。

概觀

cis函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫：

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

其中Template:Math表示虛數單位$i^2=-1$。因此

$\mathrm{cis}x=\cos x+i\sin x,$

cis符號最早由威廉·哈密頓在他於1866出版的《Elements of Quaternions》中使用，而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號 ，其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。

cis函數主要的功能為簡化某些數學表達式，透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達，例如傅里葉變換和哈特利變換的結合，以及應用在教學上時，因某些因素（如課程安排或課綱需求）因故不能使用指數來表達數學式時，cis函數就能派上用場。

性質

cis函數的定义域是整个实数集，值域是單位複數，絕對值為1的複數。它是周期函数，其最小正周期为$2\pi$。其图像关于原点对称。

上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是，就如同三角函數，他也算是一種比值，複數和其模的比值:

$\mathrm{cis}\theta =\frac{z}{\left|z\right|}$，其中$z$是辐角為$\theta$的複數

因此，當一複數的模為1，其反函數就是辐角（arg函數）。

$\mathrm{cis}$函數可視為求單位複數的函數。

$\mathrm{cis}$函數的實數部分和餘弦函數相同。

cis函數 定義在複數。圖中，顏色代表辐角，高代表模

微分

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{cis}z=i\mathrm{cis}z=i{e}^{iz}$

積分

$\int \mathrm{cis}z\mathrm{d}z=-i\mathrm{cis}z=-i{e}^{iz}$

其他性質

根據歐拉公式，cis函數有以下性質：

$\mathrm{cis}(x+y)=\mathrm{cis}x\mathrm{cis}y$

$\mathrm{cis}(x-y)=\frac{\mathrm{cis}x}{\mathrm{cis}y}$

上述性質是當$x$與$y$都是複數時成立。在$x$與$y$都是實數時，有以下不等式：

$|\mathrm{cis}x-\mathrm{cis}y|\le |x-y|.$

命名

由於$\mathrm{cis}$函數的值為「餘弦加上虛數單位倍的正弦」，取其英文縮寫cosine and imaginary unit sine，故以$\mathrm{cis}$來表示該函數。

歐拉公式

Template:Main 在數學上，為了簡化歐拉公式$e^{ix}=\cos x+i\sin x$，因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數，給出了cis函數的定義：

$\mathrm{cis}\theta =\cos \theta +i\sin \theta$

並且一般定義域為$\theta \in ℝ$，值域為$\theta \in ℂ$。

當$\theta$值為複數時，$\mathrm{cis}$函數仍然是有效的，因此可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。

棣莫弗公式

Template:Main 在數學上，為了方便起見，可以將棣莫弗公式寫成以下形式：

${\mathrm{cis}}^n(x)=\mathrm{cis}(nx)$

指數定義

跟其他三角函數類似，可以用e的指數來表示，依照歐拉公式給出: $\mathrm{cis}\theta =e^{i\theta }$

反函數

$\mathrm{cis}$的反函數：$\mathrm{arccis}x$，當代入模為1的複數時，所得的值是其輻角

類似其他三角函數，$\mathrm{cis}$的反函數也可以用自然對數來表示

$\mathrm{arccis}x=-\mathrm{i}\ln x$

當一複數經過符號函數後代入$\mathrm{arccis}x$可得輻角。

恆等式

$\mathrm{cis}$函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多

半形公式

$\mathrm{cis}\frac{\theta }{2}=\frac{(1+i)+(1-i)\cos \theta }{\sin \theta }$

$\mathrm{cis}\frac{\theta }{2}=\sqrt{\mathrm{cis}\theta }$

倍角公式

$\mathrm{cis}2\theta ={\mathrm{cis}}^2\theta$

$\mathrm{cis}n\theta ={\mathrm{cis}}^n\theta$

冪簡約公式

${\mathrm{cis}}^n\theta =\mathrm{cis}n\theta$

相關函數

餘cis函數

cocis函數，正好跟cis上下顛倒，周期相同，但是位移了$\frac{\pi }{2}$

就如同三角函數，我們可以令：$\mathrm{cocis}\theta =\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )+i\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )=\sin \theta +i\cos \theta$，其可用於誘導公式來化簡某些特定的$\mathrm{cis}$函數的式子。

至於指數定義，經過正弦和餘弦的指數定義得:

$\mathrm{cocis}\theta =\frac{(1-i)e^{i\theta }+(1+i)e^{-i\theta }}{2}$

有恆等式:

$\mathrm{cis}(-\theta )=-i\mathrm{cocis}\theta$

$\mathrm{cis}(\frac{\pi }{2}-\theta )=\mathrm{cocis}\theta$

$\mathrm{cis}(\frac{\pi }{2}+\theta )=i\mathrm{cis}\theta$

$\mathrm{cis}(\pi +\theta )=-\mathrm{cis}\theta$

$\mathrm{cocis}(-\theta )=i\mathrm{cis}\theta$

$\mathrm{cocis}(\frac{\pi }{2}-\theta )=\mathrm{cis}\theta$

$\mathrm{cocis}(\frac{\pi }{2}+\theta )=-i\mathrm{cocis}\theta$

$\mathrm{cocis}(\pi +\theta )=-\mathrm{cocis}\theta$

雙曲cis函數

cish函數（$\cosh +i\sinh$）在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。在雙曲幾何中，與歐幾里得幾何對應cis函數應為：

$e^{\theta }=\cosh (\theta )+\sinh (\theta )$

然而當中的$i$若定義為負一的平方根，則其會變為：

$\mathrm{cish}\theta =\cosh (\theta )+i\sinh (\theta )$

雙曲複數

Template:Main 在一般的情況下，cis函數對應的雙曲函數定義域和值域皆為實數，但若定義雙曲複數，考慮數$z=x+jy$，其中$x,y$是實數，而量$j$不是實數，但$j^2$是實數。選取$j^2=-1$，得到一般複數。取$+1$的話，便得到雙曲複數。

而雙曲複數有對應的歐拉公式:$e^{j\theta }=\cosh (\theta )+j\sinh (\theta )$

$\mathrm{cish}\theta =\cosh (\theta )+j\sinh (\theta )$

其中j為雙曲複數。

因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數，相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。

如此一來，值域將會變成分裂四元数。

cas函數

cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數，為Template:Link-en於1942提出，其定義為$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{s}(x):=\cos x+\sin x$，是一種實變數實值函數，而cas為「cosine-and-sine」的縮寫，其表示了實數值的Template:Link-en：

$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{s}(x)=\cos x+\sin x$

cas函數存在一些恆等式：

$2\mathrm{cas}(a+b)=\mathrm{cas}(a)\mathrm{cas}(b)+\mathrm{cas}(-a)\mathrm{cas}(b)+\mathrm{cas}(a)\mathrm{cas}(-b)-\mathrm{cas}(-a)\mathrm{cas}(-b).$

角和公式：

$\mathrm{cas}(a+b)=\cos (a)\mathrm{cas}(b)+\sin (a)\mathrm{cas}(-b)=\cos (b)\mathrm{cas}(a)+\sin (b)\mathrm{cas}(-a)$

微分：

${\mathrm{cas}}^{\prime }(a)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}\mathrm{cas}(a)=\cos (a)-\sin (a)=\mathrm{cas}(-a).$

參見

• 正弦
• 餘弦
• 複數 (數學)
• 三角函数
• 三角函数恆等式
• 歐拉公式