魏爾斯特拉斯橢圓函數

在數學中，魏爾斯特拉斯橢圓函數（Weierstrass's elliptic functions）又稱 p 函數並且以 $\mathrm{\wp }$ 符號表示，是格外簡單的一類橢圓函數，也是雅可比橢圓函數的特殊形式。卡爾·魏爾斯特拉斯首先研究了這些函數。

魏爾斯特拉斯p函數的符號

定義

固定 $ℂ$ 中的格 $\mathrm{\Lambda }=\mathbb{Z}{\omega }_1\oplus \mathbb{Z}{\omega }_2$（ ${\omega }_1,{\omega }_2\in ℂ$ 在 $\mathbb{Q}$ 上線性無關），對應的魏爾斯特拉斯橢圓函數定義是

$\mathrm{\wp }(z;\mathrm{\Lambda })=\frac{1}{z^2}+\sum _{(m,n)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(z-m{\omega }_1-n{\omega }_2{)}^2}-\frac{1}{{(m{\omega }_1+n{\omega }_2)}^2}\}$。

顯然右式只與格 $\mathrm{\Lambda }$ 相關，無關於基 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 之選取。$\mathrm{\Lambda }$ 的元素也稱作週期。

另一方面，格 $\mathrm{\Lambda }$ 在取適當的全純同態 $ℂ\to ℂ$ 後可表成 $\mathrm{\Lambda }=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\tau$，其中 $\tau$ 屬於上半平面。對於這種形式的格，

$\mathrm{\wp }(z;\mathrm{\Lambda })=\mathrm{\wp }(z;\tau )=\frac{1}{z^2}+\sum _{n^2+m^2\ne 0}\frac{1}{(z-n-m\tau {)}^2}-\frac{1}{(n+m\tau {)}^2}$。

反之，由此亦可導出對一般的格之公式

$\mathrm{\wp }(z;\mathbb{Z}{\omega }_1\oplus \mathbb{Z}{\omega }_2)=\frac{\mathrm{\wp }(\frac{z}{{\omega }_1};\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1})}{{\omega }_1^2}(\mathrm{I}\mathrm{m}(\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2})>0)$

在數值計算方面，$\mathrm{\wp }$ 可以由Θ函數快速地計算，方程是

$\mathrm{\wp }(z;\tau )={\pi }^2{\vartheta }^2(0;\tau ){\vartheta }_{10}^2(0;\tau )\frac{{\vartheta }_{01}^2(z;\tau )}{{\vartheta }_{11}^2(z;\tau )}-\frac{{\pi }^2}{3}[{\vartheta }^4(0;\tau )+{\vartheta }_{10}^4(0;\tau )]$

• 在週期格中的每個點，$\mathrm{\wp }$ 有二階极点。
• $\mathrm{\wp }$ 是偶函數。
• 複導函數 ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ 是奇函數。

加法定理

$\det \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{\wp }(z)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)& 1\\ \mathrm{\wp }(y)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(y)& 1\\ \mathrm{\wp }(z+y)& -{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z+y)& 1\end{array}\right)=0$

假設 $u+v+w=0$，上式有一個較對稱的版本

$\det \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{\wp }(u)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(u)& 1\\ \mathrm{\wp }(v)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(v)& 1\\ \mathrm{\wp }(w)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(w)& 1\end{array}\right)=0$

此外

$\mathrm{\wp }(z+y)=\frac{1}{4}{\left\{\frac{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)-{\mathrm{\wp }}^{\prime }(y)}{\mathrm{\wp }(z)-\mathrm{\wp }(y)}\right\}}^2-\mathrm{\wp }(z)-\mathrm{\wp }(y).$

魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足複製公式：若 $2z$ 不是週期，則

$\mathrm{\wp }(2z)=\frac{1}{4}{\left\{\frac{{\mathrm{\wp }}^{″}(z)}{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)}\right\}}^2-2\mathrm{\wp }(z),$

微分方程與積分方程

定義 $g_2,g_3$（依賴於 $\mathrm{\Lambda }$）為

$g_2:=60\sum _{w^{\prime }\in \mathrm{\Lambda }}{w}^{-4}$

$g_3:=120\sum _{w^{\prime }\in \mathrm{\Lambda }}{w}^{-6}$

求和符號 $\sum {\text{'}}_w$ 意謂取遍所有非零的 $w$。當 $\mathrm{\Lambda }=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\tau$ 時，它們可由艾森斯坦級數 $G_4,G_6$ 表示。

則魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足微分方程

${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z{)}^2=4\mathrm{\wp }(z{)}^3-g_2\mathrm{\wp }(z)-g_3$。

故 $z\mapsto (\mathrm{\wp }(z),{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z))$ 給出了從複環面 $ℂ/\mathrm{\Lambda }$ 映至三次複射影曲線 $y^2=4x^3-g_{2}x-g_3$ 的全純映射；可證明這是同構。

另一方面，將上式同除以 ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$，積分後可得

$z_1-z_2=\underset{\mathrm{\wp }(z_1)}{\overset{\mathrm{\wp }(z_2)}{\int }}\frac{ds}{\sqrt{4s^3-g_{2}s-g_3}}$。

右側是複平面上的路徑積分，對不同的路徑 $\mathrm{\wp }(z_1)\to \mathrm{\wp }(z_2)$，其積分值僅差一個 $\mathrm{\Lambda }$ 的元素；所以左式應在複環面 $ℂ/\mathrm{\Lambda }$ 中考慮。在此意義下，魏爾斯特拉斯橢圓函數是某類橢圓積分之逆。

模判別式

續用上節符號，模判別式 $\mathrm{\Delta }$ 定義為下述函數

$\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_3^2.$

視為週期格的函數，這是權 12 之模形式。模判別式也可以用戴德金η函數表示。

文獻

• Stein. Complex Analysis.
• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21

外部連結

• Weierstrass's elliptic functions on Mathworld Template:Wayback.
• Elliptic functions, Hans Lundmark's Complex analysis page.