戴德金η函數

戴德金η函數（Dedekind eta function）是定義在上半平面的全純函數，這是權1/2的模形式之一例。

η函數的描繪

對每個屬於上半平面的複數$\tau$，置$q=e^{2\pi i\tau }$，則η函數表為

$\eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n)$

η函數滿足以下函數方程：

• $\eta (\tau +1)=\exp (\frac{2\pi i}{24})\eta (\tau )$
• $\eta (-1/\tau )=\sqrt{\frac{\tau }{i}}\eta (\tau )$

此處的根號是方根函數在右半平面的解析延拓

$r{e}^{i\theta }\mapsto r^{1/2}{e}^{i\theta /2},|\theta |<\pi /2$。

一般而言，對$a,b,c,d\in \mathbb{Z},ab-cd=1$，我們有

$\eta \left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=ϵ(a,b,c,d){(-i(c\tau +d))}^{1/2}\eta (z)$

其中的自守因子$ϵ$定為

$ϵ(a,b,c,d)=\exp i\pi (\frac{a+d}{12c}+s(-d,c))$。

而$s(h,k)$為戴德金和

$s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}\frac{n}{k}(\frac{hn}{k}-\lfloor \frac{hn}{k}\rfloor -\frac{1}{2})$

由此函數方程可知η是權1/2的模形式，因此可由η構造更多的模形式，例如魏爾施特拉斯的模判別式即可表為

$\mathrm{\Delta }(\tau )=(2\pi {)}^{12}\eta (\tau {)}^{24}$。

事實上，由函數方程可知${\eta }^{24}$是權12的模形式，而這類模形式構成複一維向量空間，比較傅里葉展開的常數項，上式立可得證。

拉馬努金有一個著名的猜想：在傅立葉展開式中，對任一素數，的係數的絕對值恆。此猜想最後由德利涅證明。

上述諸例點出了模形式與若干古典數論問題的聯繫，例如以二次型表示整數以及整數分拆問題。赫克算子（英語：Hecke operator）理論闡釋了模形式與數論的關鍵聯繫，同時也聯繫了模形式與表示理論。

文獻

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0

外部連結

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