艾森斯坦級數

在數學中，艾森斯坦級數是一類可直接表成級數的模形式，由費迪南·艾森斯坦首創。對於一般的約化群，-{zh-cn:罗伯特;zh-tw:勞勃;zh-hant:羅伯特;zh-hk:羅拔;}-·朗蘭茲也發展了相應的理論。

模群的艾森斯坦級數

固定整數 $k>1$。對上半平面上的複數 $\tau$，定義艾森斯坦級數 $G_{2k}$ 為

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\ne (0,0)}\frac{1}{(m+n\tau {)}^{2k}}.$

此級數是上半平面上的全純函數，此外它更是模群 $\mathrm{\Gamma }:=\mathrm{S}\mathrm{L}(2,\mathbb{Z})$ 的權 $2k$ 模形式。換言之，若 $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ 滿足 $ad-bc=1$，則

$G_{2k}\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{2k}{G}_{2k}(\tau )$

遞迴關係

模形式理論中的一個基本事實是：模群 $\mathrm{\Gamma }$ 的模形式俱可表為 $G_4$ 與 $G_6$ 的多項式。作為特例，以下說明如何將艾森斯坦級數遞迴地表成 $G_4,G_6$ 的多項式。

置 $d_k:=(2k+3)k!G_{2k+4}$，遂有下述關係式：

$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})d_k{d}_{n-k}=\frac{2n+9}{3n+6}{d}_{n+2}$

在此 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ 是二項式係數而 $d_0=3G_4$、$d_1=5G_6$。

函數 $d_k$ 可以表示魏爾斯特拉斯 $\mathrm{\wp }$ 函數：

$\mathrm{\wp }(z)=\frac{1}{z^2}+z^2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{d_k{z}^{2k}}{k!}=\frac{1}{z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(2k+1)G_{2k+2}{z}^{2k}$

傅立葉展開

置 $q=e^{2\pi i\tau }$。由於艾森斯坦級數是模群的模形式，故有傅立葉展開式

$G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_{2k-1}(n)q^n)$

其中的傅立葉係數 $c_{2k}$ 是

$c_{2k}=\frac{(2\pi i{)}^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}=\frac{-4k}{B_{2k}}$。

此處的 $B_n$ 是伯努利數，$\zeta (z)$是黎曼ζ函數，而 ${\sigma }_p(n)$ 是 $n$ 的正因數的 $p$ 次冪和。

$G_4(\tau )=\frac{{\pi }^4}{45}[1+240\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_3(n)q^n]$

$G_6(\tau )=\frac{2{\pi }^6}{945}[1-504\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_5(n)q^n]$

當 $|q|<1$，對 $q$ 之和亦可化成蘭伯特級數

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_a(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^a{q}^n}{1-q^n}$。

有時也會考慮常數項等於一的艾森斯坦級數：

$E_{2k}:=\frac{G_{2k}}{2\zeta (2k)}=1-\frac{4k}{B_{2k}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_{2k-1}(n)q^n$。

拉馬努金公式

拉馬努金給出了許多有趣的艾森斯坦級數關係式：定義

$L(q)=1-24\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n{q}^n}{1-q^n}=E_2(\tau )$

$M(q)=1+240\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^3{q}^n}{1-q^n}=E_4(\tau )$

$N(q)=1-504\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^5{q}^n}{1-q^n}=E_6(\tau )$

則有

$q\frac{dL}{dq}=\frac{L^2-M}{12}$

$q\frac{dM}{dq}=\frac{LM-N}{3}$

$q\frac{dN}{dq}=\frac{LN-M^2}{2}$

文獻

• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
• Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 (See chapter 3)
• Jean-Pierre Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.