雅可比橢圓函數

在數學中，雅可比橢圓函數是由卡爾·雅可比在1830年左右研究的一類橢圓函數。這類函數可用於擺之類的應用問題，並具有與三角函數相似的性質。

介紹

雅可比矩形

雅可比橢圓函數有十二種，各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作 $s$ $c$ $d$ $n$。

視此矩形為複數平面的一部分，$s$ 是原點，$c$ 是實軸上的一點 $K,d$ 是 $K+\mathrm{i}{K}^{\prime }$，$n$ 是 $\mathrm{i}{K}^{\prime }$。$K$ 與 $\mathrm{i}{K}^{\prime }$ 稱作四分之一週期。

十二個橢圓函數分別記為 $\mathrm{s}\mathrm{c},\mathrm{s}\mathrm{d},\mathrm{s}\mathrm{n},\mathrm{c}\mathrm{s},\mathrm{c}\mathrm{d},\mathrm{c}\mathrm{n},\mathrm{d}\mathrm{s},\mathrm{d}\mathrm{c},\mathrm{d}\mathrm{n},\mathrm{n}\mathrm{s},\mathrm{n}\mathrm{c},\mathrm{n}\mathrm{d}$。為方便起見，取變數 $p,q$意指矩形上的任一對頂點，則函數 $pq$ 是唯一滿足以下性質的週期亞純函數

• $p$ 是單零點，$q$ 是單極點。
• $pq$ 在 $\overrightarrow{pq}$ 方向的週期等於 $p,q$ 距離的兩倍。對另兩個從 $p$出發的方向，$pq$亦滿足同樣性質。
• $pq$ 在頂點 $p$ $q$ 的展式首項係數均為一。

表列如次：

函數	週期	零點	極點	留數
$\mathrm{s}\mathrm{n}(z;k)$	$4K,2\mathrm{i}{K}^{\prime }$	$2mK+2n\mathrm{i}{K}^{\prime }$	$2mK+(2n+1)\mathrm{i}{K}^{\prime }$	$(-1{)}^m\frac{1}{k}$
$\mathrm{c}\mathrm{n}(z;k)$	$4K,2(K+\mathrm{i}{K}^{\prime })$	$(2m+1)K+2n\mathrm{i}{K}^{\prime }$	$2mK+(2n+1)\mathrm{i}{K}^{\prime }$	$(-1{)}^{m+n}\frac{1}{\mathrm{i}k}$
$\mathrm{d}\mathrm{n}(z;k)$	$2K,4\mathrm{i}{K}^{\prime }$	$(2m+1)K+2(n+1)\mathrm{i}{K}^{\prime }$	$2mK+(2n+1)\mathrm{i}{K}^{\prime }$	$(-1{)}^{n-1}\mathrm{i}$
$n$ 與 $m$ 是整數

一般而言，須以平行四邊形代替上述矩形，以考慮更一般的週期。

表為橢圓積分之逆

以上定義略顯抽象，更具體的定義是將之表為某類橢圓積分(第一類不完全橢圓積分)之逆。設

$u=\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-m{\sin }^2\theta }}.$

橢圓正弦函數 sn u 定義為

$\mathrm{sn}u=\sin \varphi$

而橢圓余弦函數 cn u 定義為

$\mathrm{cn}u=\cos \varphi$

同理，椭圆德尔塔函数有

$\mathrm{dn}u=\sqrt{1-m{\sin }^2\varphi }.$

這裡的 $m\in ℝ$ 是自由變元，通常取 $0\le m\le 1$。

剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。

反函數

雅可比椭圆函数的反函数可以像三角函数与反三角函数那样被定义。因为椭圆函数往往是椭圆积分之逆，这些反函数也都可以用勒让德椭圆积分来描述。如同反三角函数一样，雅可比椭圆函数的反函数也是多值的，因此需要支割线。以下是部分反函数的积分表达：

• $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{n}(z,k)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2{t}^2)}}$
• $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{n}(z,k)=\underset{z}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2+k^2{t}^2)}}$
• $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{n}(z,k)=\underset{z}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(t^2+k^2-1)}}$

• $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{n}\mathrm{s}(z,k)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(t^2-1)(t^2-k^2)}}$
• $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{n}\mathrm{c}(z,k)=\underset{1}{\overset{z}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(t^2-1)(1-k^2)(k^2+t^2)}}$
• $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{n}\mathrm{d}(z,k)=\underset{1}{\overset{z}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(t^2-1)(1-(1-k^2)t^2)}}$

用Θ函數来定义

雅可比椭圆函数也可以用Θ函數来定义。如果我们把$\vartheta (0;\tau )$简写为$\vartheta$，把${\vartheta }_{01}(0;\tau ),{\vartheta }_{10}(0;\tau ),{\vartheta }_{11}(0;\tau )$分别简写为${\vartheta }_{01},{\vartheta }_{10},{\vartheta }_{11}$（Theta常数），那么椭圆模k是$k=(\frac{{\vartheta }_{10}}{\vartheta }{)}^2$。如果我们设$u=\pi {\vartheta }^{2}z$，我们便有：

$\text{sn}(u;k)=-\frac{\vartheta {\vartheta }_{11}(z;\tau )}{{\vartheta }_{10}{\vartheta }_{01}(z;\tau )}$

$\text{cn}(u;k)=\frac{{\vartheta }_{01}{\vartheta }_{10}(z;\tau )}{{\vartheta }_{10}{\vartheta }_{01}(z;\tau )}$

$\text{dn}(u;k)=\frac{{\vartheta }_{01}\vartheta (z;\tau )}{\vartheta {\vartheta }_{01}(z;\tau )}$

加法定理

${\mathrm{cn}}^2+{\mathrm{sn}}^2=1,$

${\mathrm{dn}}^2+k^2{\mathrm{sn}}^2=1.$

由此可見 (cn,sn,dn) 描出射影空間 ${\mathbb{P}}^3(ℂ)$ 中兩個二次曲面之交，這同構於一條橢圓曲線。曲線上的群運算由下列加法公式描述：

$\mathrm{cn}(x+y)=\frac{\mathrm{cn}(x)\mathrm{cn}(y)-\mathrm{sn}(x)\mathrm{sn}(y)\mathrm{dn}(x)\mathrm{dn}(y)}{1-k^2{\mathrm{sn}}^2(x){\mathrm{sn}}^2(y)},$

$\mathrm{sn}(x+y)=\frac{\mathrm{sn}(x)\mathrm{cn}(y)\mathrm{dn}(y)+\mathrm{sn}(y)\mathrm{cn}(x)\mathrm{dn}(x)}{1-k^2{\mathrm{sn}}^2(x){\mathrm{sn}}^2(y)},$

$\mathrm{dn}(x+y)=\frac{\mathrm{dn}(x)\mathrm{dn}(y)-k^2\mathrm{sn}(x)\mathrm{sn}(y)\mathrm{cn}(x)\mathrm{cn}(y)}{1-k^2{\mathrm{sn}}^2(x){\mathrm{sn}}^2(y)}.$

函数的平方之间的关系

$-{\mathrm{dn}}^2(u)+(1-k^2)=-k^2{\mathrm{cn}}^2(u)=k^2{\mathrm{sn}}^2(u)-k^2$

$(k^2-1){\mathrm{nd}}^2(u)+(1-k^2)=k^2(k^2-1){\mathrm{sd}}^2(u)=k^2{\mathrm{cd}}^2(u)-k^2$

$(1-k^2){\mathrm{sc}}^2(u)+(1-k^2)=(1-k^2){\mathrm{nc}}^2(u)={\mathrm{dc}}^2(u)-k^2$

${\mathrm{cs}}^2(u)+(1-k^2)={\mathrm{ds}}^2(u)={\mathrm{ns}}^2(u)-k^2$

常微分方程的解

三个基本的雅可比椭圆函数的导数为：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{s}\mathrm{n}(z;k)=\mathrm{c}\mathrm{n}(z;k)\mathrm{d}\mathrm{n}(z;k),$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{c}\mathrm{n}(z;k)=-\mathrm{s}\mathrm{n}(z;k)\mathrm{d}\mathrm{n}(z;k),$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{d}\mathrm{n}(z;k)=-k^2\mathrm{s}\mathrm{n}(z;k)\mathrm{c}\mathrm{n}(z;k).$

根据以上的加法定理，可知它们是以下非线性常微分方程的解：

• $\mathrm{s}\mathrm{n}(x;k)$是微分方程$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+(1+k^2)y-2k^2{y}^3=0,$和${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2=(1-y^2)(1-k^2{y}^2)$的解；

• $\mathrm{c}\mathrm{n}(x;k)$是微分方程$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+(1-2k^2)y+2k^2{y}^3=0,$和${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2=(1-y^2)(1-k^2+k^2{y}^2)$的解；

• $\mathrm{d}\mathrm{n}(x;k)$是微分方程$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}-(2-k^2)y+2y^3=0,$和${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2=(y^2-1)(1-k^2-y^2)$的解。

图像

文獻

• Template:Cite book 見 第16章 Template:Wayback

• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3

• Alfred George Greenhill, The applications of elliptic functions (London, New York, Macmillan, 1892)
• H. Hancock Lectures on the theory of elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910)
• A. C. Dixon The elementary properties of the elliptic functions, with examples (Macmillan, 1894)