椭圆积分

在积分学中，椭圆积分最初出现于椭圆的弧长有关的问题中。Template:Le和欧拉是最早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数 $f$的积分

$f(x)=\underset{c}{\overset{x}{\int }}R[t,\sqrt[]{P(t)}]dt$

其中$R$是其两个参数的有理函数，$P$是一个无重根的$3$或$4$阶多项式，而$c$是一个常数。

通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在$P$有重根的时候，或者是$R$,$(x,y)$没有$y$的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，第一，第二，和第三类的椭圆积分）。

除下面给出的形式之外，椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上，椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的，特别是这一个：$F[\text{sn}(z;k);k]=z$其中$\text{sn}$是雅可比正弦椭圆函数。

记法

椭圆积分通常表述为不同变量的函数。这些变量完全等价（它们给出同样的椭圆积分），但是它们看起来很不相同。很多文献使用单一一种标准命名规则。在定义积分之前，先来检视一下这些变量的命名常规：

• $\alpha$ 模角;
• $k=\sin \alpha$ 椭圆模;
• $m=k^2={\sin }^2\alpha$ 参数;

上述三种常规完全互相确定。规定其中一个和规定另外一个一样。椭圆积分也依赖于另一个变量，可以有如下几种不同的设定方法：

• $\varphi$ 幅度
• $x$ 其中$x=\sin \varphi =\text{sn}u$
• $u$，其中$x=\text{sn}u$而$\text{sn}$是雅可比椭圆函数之一

规定其中一个决定另外两个。这样，它们可以互换地使用。注意$u$也依赖于$m$。其它包含$u$的关系有

$\cos \varphi =\text{cn}u$

和

$\sqrt{1-m{\sin }^2\varphi }=\text{dn}u.$

后者有时称为δ幅度并写作$\mathrm{\Delta }(\varphi )=\text{dn}u$。有时文献也称之为补参数，补模或者补模角。这些在四分周期中有进一步的定义。

第一类不完全椭圆积分

第一类不完全椭圆积分 $F$定义为

$F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi |m)=\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha {)}^2}}.$

与此等价，用雅可比的形式，可以设 $x=\sin \varphi ,t=\sin \theta$；则

$F(\varphi \setminus \alpha )=F(x;k)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2{t}^2)}}$

其中，假定任何有竖直条出现的地方，紧跟竖直条的变量是（如上定义的）参数；而且，当反斜杠出现的时候，跟着出现的是模角。 在这个意义下，$F(\sin \varphi ;\sin \alpha )=F(\varphi |{\sin }^2\alpha )=F(\varphi \setminus \alpha )$，这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun。

但是，还有许多不同的用于椭圆积分的记法。取值为椭圆积分的函数没有（像平方根，正弦和误差函数那样的）标准和唯一的名字。甚至关于该领域的文献也常常采用不同的记法。Gradstein, Ryzhik[1] Template:Wayback, $Eq$.(8.111)]采用$F(\varphi ,k)$。该记法和这里的$F(\varphi |k^2)$；以及下面的$E(\varphi ,k)=E(\varphi |k^2)$等价。

和上面的不同对应的是，如果从Mathematica语言翻译代码到Maple语言，必须将EllipticK函数的参数用它的平方根代替。反过来，如果从Maple翻到Mathematica，则参数应该用它的平方代替。Maple中的EllipticK($x$)几乎和Mathematica中的EllipticK[$x^2$]相等；至少当$0<x<1$时是相等的。

注意

$F(x;k)=u$

其中$u$如上文所定义：由此可见，雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆。

加法公式

$\mathrm{\forall }{\phi }_1,{\phi }_2\in ]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}[,$

$F({\phi }_1,k)+F({\phi }_2,k)=F(\arctan (\tan {\phi }_1\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_2})+\arctan (\tan {\phi }_2\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_1}),k)$

$\arctan (\tan {\phi }_1\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_2})+\arctan (\tan {\phi }_2\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_1})\in [-\pi /2;\pi /2]\Rightarrow$

$F({\phi }_1,k)+F({\phi }_2,k)=F(\arcsin \frac{\cos {\phi }_1\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_1}\sin {\phi }_2+\cos {\phi }_2\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_2}\sin {\phi }_1}{1-k^2{\sin }^2{\phi }_1{\sin }^2{\phi }_2},k)$

$\arctan (\tan {\phi }_1\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_2})+\arctan (\tan {\phi }_2\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_1})\in [0;\pi ]\Rightarrow$

$F({\phi }_1,k)+F({\phi }_2,k)=F(\arccos \frac{\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2-\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_1}\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_1}\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_2}}{1-k^2{\sin }^2{\phi }_1{\sin }^2{\phi }_2},k)$

性质

$F(x+n\pi ;k)=F(x;k)+2nK(k)$

$F(x+\frac{n\pi }{2};k)=nK(k)$

$n\in \mathbb{Z}$

$F(-x;k)=-F(x;k)$

$F(x;0)=x$

$F(0;k)=-F(x;k)$

$F(x;1)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\sin x$

$-\frac{\pi }{2}<\mathrm{\Re }(x)<\frac{\pi }{2}$

第一类不完全椭圆积分的导数

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x;k)=\frac{1}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}F(x;k)=\frac{E(x;k)}{2k(1-k)}-\frac{F(x;k)}{2k}-\frac{\sin 2x}{4(1-k)\sqrt{1-k{\sin }^{2}x}}$

第二类不完全椭圆积分

第二类不完全椭圆积分 $E$是

$E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi |m)=\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}{E}^{\prime }(\theta )\mathrm{d}\theta =\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha {)}^2}\mathrm{d}\theta .$

与此等价，采用另外一个记法（作变量替换$t=\sin \theta$），

$E(x;k)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sqrt{1-k^2{t}^2}}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t.$

其它关系包括

$E(\varphi |m)=\underset{0}{\overset{u}{\int }}{\text{dn}}^{2}w\mathrm{d}w=u-m\underset{0}{\overset{u}{\int }}{\text{sn}}^{2}w\mathrm{d}w=(1-m)u+m\underset{0}{\overset{u}{\int }}{\text{cn}}^{2}w\mathrm{d}w.$

$E(\varphi |k^2)=(1-k^2)\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{(1-k^2{\sin }^2\theta )\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}+\frac{k^2\sin \theta \cos \theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}$

加法公式

$\mathrm{\forall }{\phi }_1,{\phi }_2\in ]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}[,$

$E({\phi }_1,k)+E({\phi }_2,k)=\left[\begin{array}{c}E(\arctan (\tan {\phi }_1\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_2})+\arctan (\tan {\phi }_2\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_1}),k)\\ +\frac{k^2\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2(\cos {\phi }_1\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_1}\sin {\phi }_2+\cos {\phi }_2\sqrt{1-k^2{\sin }^2{\phi }_2}\sin {\phi }_1)}{1-k^2\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2}\end{array}\right]$

性质

$E(\varphi +n\pi ;k)=E(\varphi ;k)+2nE(k)$

$E(-\varphi ;k)=-E(\varphi ;k)$

第二类不完全椭圆积分的导数

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varphi }E(\varphi ;k)=\sqrt{1-k^2{\sin }^2\varphi }$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}E(\varphi ;k)=\frac{E(\varphi ;k)-F(\varphi ;k)}{2k}$

$\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{k}^n}E(\varphi ;k)=\frac{\pi }{2k^n}{}_2{F}_1(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};1-n;k)-\frac{\sqrt{\pi }\cos \varphi }{2k^{2n}}{F}_{2\times 1\times 0}^{1\times 3\times 2}\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2};-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;\frac{1}{2},1;\\ 1,\frac{3}{2};1-n;;\\ -k^2\cos \varphi ,{\cos }^2\varphi \end{array}\right]+\frac{\pi m^{1-n}\cos \varphi }{8}{F}_{3\times 1\times 1}^{2\times 1\times 1}\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2},\frac{3}{2},2;\frac{1}{2},1;\\ 2,2-n;1-n;\frac{3}{2};\frac{3}{2};\\ -k^2{\cos }^2\varphi ,k^2\end{array}\right]$

第三类不完全椭圆积分

第三类不完全椭圆积分$\mathrm{\Pi }$是

$\mathrm{\Pi }(n;\varphi |m)=\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{(1-n{\sin }^2\theta )\sqrt{1-(\sin \theta \sin o\epsilon {)}^2}},$

或者

$\mathrm{\Pi }(n;\varphi |m)=\underset{0}{\overset{\sin \varphi }{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{(1-n{t}^2)\sqrt{(1-k^2{t}^2)(1-t^2)}},$

或者

$\mathrm{\Pi }(n;\varphi |m)=\underset{0}{\overset{F(\varphi |m)}{\int }}\frac{\mathrm{d}w}{1-n{\text{sn}}^2(w|m)}.$

数字$n$称为特征数，可以取任意值，和其它参数独立。但是要注意$\mathrm{\Pi }(1;\frac{\pi }{2}|m)$对于任意$m$是无穷的。

加法公式

$\mathrm{\Pi }(n;{\varphi }_1,k)+\mathrm{\Pi }(n;{\varphi }_2,k)=\mathrm{\Pi }[n;\arccos \frac{\cos {\varphi }_1\cos {\varphi }_2-\sin {\varphi }_1\sin {\varphi }_2\sqrt{(1-k^2{\sin }^2{\varphi }_1)(1-k^2{\sin }^2{\varphi }_2)}}{1-k^2{\sin }^2{\varphi }_1{\sin }^2{\varphi }_2},k]-\sqrt{\frac{n}{(1-n)(n-k^2)}}\arctan \frac{\sqrt{(1-n)n(n-k^2)}\sin \arccos \frac{\cos {\varphi }_1\cos {\varphi }_2-\sin {\varphi }_1\sin {\varphi }_2\sqrt{(1-k^2{\sin }^2{\varphi }_1)(1-k^2{\sin }^2{\varphi }_2)}}{1-k^2{\sin }^2{\varphi }_1{\sin }^2{\varphi }_2}\sin {\varphi }_1\sin {\varphi }_2}{\frac{n\cos {\varphi }_1\cos {\varphi }_2-n\sin {\varphi }_1\sin {\varphi }_2\sqrt{(1-k^2{\sin }^2{\varphi }_1)(1-k^2{\sin }^2{\varphi }_2)}}{1-k^2{\sin }^2{\varphi }_1{\sin }^2{\varphi }_2}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\arccos \frac{\cos {\varphi }_1\cos {\varphi }_2-\sin {\varphi }_1\sin {\varphi }_2\sqrt{(1-k^2{\sin }^2{\varphi }_1)(1-k^2{\sin }^2{\varphi }_2)}}{1-k^2{\sin }^2{\varphi }_1{\sin }^2{\varphi }_2}}\sin {\varphi }_1\sin {\varphi }_2+1-n{\sin }^2\arccos \frac{\cos {\varphi }_1\cos {\varphi }_2-\sin {\varphi }_1\sin {\varphi }_2\sqrt{(1-k^2{\sin }^2{\varphi }_1)(1-k^2{\sin }^2{\varphi }_2)}}{1-k^2{\sin }^2{\varphi }_1{\sin }^2{\varphi }_2}}$

第三类不完全椭圆积分的导数

$\frac{\partial }{\partial n}\mathrm{\Pi }(n;\varphi ,k)=\frac{1}{2(k^2-n)(n-1)}[E(\varphi ;k)+\frac{(k^2-n)F(\varphi ;k)}{n}+\frac{(n^2-k^2)\mathrm{\Pi }(n;\varphi ,k)}{n}-\frac{n\sqrt{1-k^2\sin \varphi }\sin 2\varphi }{2(1-n{\sin }^2\varphi )}]$

$\frac{{\partial }^m}{\partial n^m}\mathrm{\Pi }(n;\varphi ,k)=\frac{\sin \varphi }{n^m}\sum _{q=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q!(n{\sin }^2\varphi {)}^q}{(2q+1)\mathrm{\Gamma }(q-m+1)}{F}_1(q+\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2};q+\frac{3}{2};{\sin }^2\varphi ,k^2{\sin }^2\varphi )$

$\frac{\partial }{\partial \varphi }\mathrm{\Pi }(n;\varphi ,k)=\frac{1}{(1-k^2{\sin }^2\varphi )}$

$\frac{\partial }{\partial k}\mathrm{\Pi }(n;\varphi ,k)=\frac{k}{n-k^2}[\frac{E(\varphi ;k)}{k^2-1}+\mathrm{\Pi }(n;\varphi ,k)-\frac{k^2\sin 2\varphi }{2(k^2-1)\sqrt{1-k^2{\sin }^2\varphi }}]$

特殊值

$\mathrm{\Pi }(n;\varphi ,1)=\frac{1}{2n-2}[\sqrt{n}\ln \frac{1+\sqrt{n}\sin \varphi }{1-\sqrt{n}\sin \varphi }-2\ln (\sec \varphi +\tan \varphi )]$

$-\frac{\pi }{2}\le \mathrm{\Re }(\varphi )\le \frac{\pi }{2}$

$\mathrm{\Pi }(0;\varphi ,k)=F(\varphi ,k)$

$\mathrm{\Pi }(n;\varphi ,0)=\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\sqrt{n-1}\tan \varphi )}{\sqrt{n-1}}$

$-\frac{\pi }{2}\le \mathrm{\Re }(\varphi )\le \frac{\pi }{2}$

$\mathrm{\Pi }(n;\varphi ,\sqrt{n})=\frac{1}{1-n}[E(\varphi ,\sqrt{n})-\frac{n\sin 2\varphi }{2\sqrt{1-n{\sin }^2\varphi }}]$

$\mathrm{\Pi }(n;\frac{1}{k},k)=\frac{1}{k}\mathrm{\Pi }(\frac{n}{k^2},\frac{1}{k})$

$\mathrm{\Pi }(1;\varphi ,k)=\frac{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\varphi }\tan \varphi -E(\varphi ,k)}{1-k^2}+F(\varphi ,k)$

第一类完全椭圆积分

第一类完全椭圆积分$K(k)$

如果幅度为$\frac{\pi }{2}$或者$x=1$，则称椭圆积分为完全的。 第一类完全椭圆积分$K$可以定義为

$K(k)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}$

或者

$K(k)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2{t}^2)}}.$

它是第一类不完全椭圆积分的特例：

$K(k)=F(1;k)=F(\frac{\pi }{2}|k^2)$

这个特例可以表达为幂级数

$K(k)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left[\frac{(2n)!}{2^{2n}n{!}^2}\right]}^2{k}^{2n}$

它等价于

$K(k)=\frac{\pi }{2}\{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{k}^2+{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2{k}^4+\cdots +{\left[\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right]}^2{k}^{2n}+\cdots \}.$

其中$n!!$表示双阶乘。利用高斯的超几何函数，第一类完全椭圆积分可以表达为

$K(k)=\frac{\pi }{2}{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2).$

第一类完全椭圆积分有时称为四分周期。它可以利用算术几何平均值來快速计算。

$K(k)=\frac{\frac{\pi }{2}}{\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(1,\sqrt{1-k^2})}.$

复数值

$\mathrm{\Re }[K(x+y\mathrm{i})]=\frac{\pi }{2}{F}_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}\left[\begin{array}{c}\frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{5}{4},;;;\\ 1,\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2\end{array}\right]+\frac{\pi }{8}x{F}_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}\left[\begin{array}{c}\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4},;;;\\ 1,\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2};\\ -y^2,x^2\end{array}\right]$

$\mathrm{\Im }[K(x+y\mathrm{i})]=\frac{\pi }{8}y{F}_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}\left[\begin{array}{c}\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},;;;\\ 1,\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{2};\\ -y^2,x^2\end{array}\right]+\frac{9}{64}\pi xy{F}_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}\left[\begin{array}{c}\frac{5}{4},\frac{7}{4},\frac{7}{4},\frac{5}{4},;;;\\ 2,\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2\end{array}\right]$

特殊值

$K(\pm \mathrm{\infty })=0$

$K(\pm \mathrm{i}\mathrm{\infty })=0$

$K(0)=\frac{\pi }{2}$

$K(1)=\mathrm{\infty }$

$K(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{8\pi }{{\mathrm{\Gamma }}^2(-\frac{1}{4})}\sqrt{\pi }$

$K\left(\sqrt{17-12\sqrt{2}}\right)=\frac{(4+2\sqrt{2})\pi }{{\mathrm{\Gamma }}^2(-\frac{1}{4})}\sqrt{\pi }$

$K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[4]{3}}{8\pi }{\mathrm{\Gamma }}^3\left(\frac{1}{3}\right)$

$K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[4]{27}}{8\pi }{\mathrm{\Gamma }}^3\left(\frac{1}{3}\right)$

$K(i)=\frac{\sqrt{2\pi }}{8\pi }{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{1}{4}\right)$

$K(\sqrt{2})=\frac{4\sqrt{2\pi }\pi }{{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{1}{4}\right)}+\frac{4\sqrt{2\pi }\pi }{{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{1}{4}\right)}\mathrm{i}$

$K(\mathrm{i}k)=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}K\left(\sqrt{\frac{k^2}{k^2+1}}\right)$

其中

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)\approx 3.62561$

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)\approx 2.67893$

第一类完全椭圆积分满足

$E(k)K^{\prime }(k)+E^{\prime }(k)K(k)-K(k)K^{\prime }(k)=\frac{\pi }{2}$

导数

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}{K}^n(k)=\frac{n{K}^{n-1}(k)E(k)}{2k(1-k)}-\frac{n{K}^n(k)}{2k}$

漸近表示

$K(k^2)\approx \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{8}\frac{k^2}{1-k^2}-\frac{\pi }{16}\frac{k^4}{1-k^2}$

這個近似在k<1/2時相對誤差小於Template:Math，若只保留前兩項則誤差在k<1/2時小於0.01

微分方程

此函數滿足以下微分方程

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}[k(1-k^2)\frac{\mathrm{d}K(k)}{\mathrm{d}k}]=kK(k)$

此微分方程之另一解為$K(\sqrt{1-k^2})$，此解滿足以下關係。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}K(\sqrt{1-k^2})=\frac{E(k)}{k(1-k^2)}-\frac{K(k)}{k}$.

第二类完全椭圆积分

第二类完全椭圆积分$E(k)$

第二类完全椭圆积分 $E$可以定义为

$E(k)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }\mathrm{d}\theta$

或者

$E(k)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\sqrt{1-k^2{t}^2}}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t.$

它是第二类不完全椭圆积分的特殊情况：

$E(k)=E(1;k)=E(\frac{\pi }{2}|k^2)$

它可以用幂级数表达

$E(k)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left[\frac{(2n)!}{2^{2n}n{!}^2}\right]}^2\frac{k^{2n}}{1-2n}$

也就是

$E(k)=\frac{\pi }{2}\{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\frac{k^2}{1}-{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2\frac{k^4}{3}-\cdots -{\left[\frac{(2n-1)!!}{\left(2n\right)!!}\right]}^2\frac{k^{2n}}{2n-1}-\cdots \}.$

用高斯超几何函数表示的话，第二类完全椭圆积分可以写作

$E(k)=\frac{\pi }{2}{}_2{F}_1(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2).$

有如下性质

$E(\frac{n\pi }{2};k)=nE(k)$

$n\in \mathbb{Z}$

复数值

$E(x+y\mathrm{i})=\{\frac{\pi }{2}{F}_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}\left[\begin{array}{c}\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},;-;-;\\ 1,\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2\end{array}\right]-\frac{\pi }{8}x{F}_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}\left[\begin{array}{c}\frac{1}{4},\frac{3}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{4},;-;-;\\ 1,\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2};\\ -y^2,x^2\end{array}\right]\}+\mathrm{i}\{-\frac{\pi }{8}y{F}_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}\left[\begin{array}{c}\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},;-;-;\\ 1,\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2\end{array}\right]-\frac{3}{64}\pi xy{F}_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}\left[\begin{array}{c}\frac{5}{4},\frac{7}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},;-;-;\\ 2,\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2\end{array}\right]\}$

特殊值

$E(0)=\frac{\pi }{2}$

$E(1)=1$

$E(\mathrm{\infty })=\mathrm{i}\mathrm{\infty }$

$E(-\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }$

$E(\mathrm{i}\mathrm{\infty })=(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i})\mathrm{\infty }$

$E(\mathrm{i})=\frac{\sqrt{2\pi }}{2\pi }{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)+\frac{\sqrt{2\pi }{\pi }^2}{4\pi {\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)}=\frac{\pi \sqrt{2\pi }}{{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{1}{4}\right)}+\frac{\sqrt{2\pi }}{8\pi }{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{1}{4}\right)$

$E(-\mathrm{i}\mathrm{\infty })=(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i})\mathrm{\infty }$

$E\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)={\pi }^{\frac{3}{2}}\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}+\frac{1}{8\sqrt{\pi }}\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{4}\right)}^2$

$E\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[4]{3}}{3{\mathrm{\Gamma }}^3\left(\frac{1}{3}\right)}{\pi }^2+\frac{\sqrt[3]{4}(3\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{27})}{48\pi }{\mathrm{\Gamma }}^3\left(\frac{1}{3}\right)$

$E\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[4]{27}}{3{\mathrm{\Gamma }}^3\left(\frac{1}{3}\right)}{\pi }^2+\frac{\sqrt[3]{4}(\sqrt[4]{27}-\sqrt[4]{3})}{16\pi }{\mathrm{\Gamma }}^3\left(\frac{1}{3}\right)$

$E(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\pi }}{8}[\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{8})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{5}{8})}+\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{5}{8})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{9}{8})}]$

$E(\sqrt{2})=\sqrt{\frac{1}{2\pi }}{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)+\sqrt{\frac{1}{2\pi }}{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)\mathrm{i}$

其中

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{8}\right)\approx 7.53394$

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{5}{8}\right)\approx 1.43452$

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{9}{8}\right)\approx 0.94174$

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)\approx 1.22541$

导数、積分及微分方程

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}E(k)=\frac{E(k)-K(k)}{k}$

$\int E(k)\mathrm{d}k=\frac{2}{3}[kK(k)-K(k)+kE(k)+E(k)]$

$(k^2-1)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}\left[k\frac{\mathrm{d}E(k)}{\mathrm{d}k}\right]=kE(k)$

此微分方程之另解為$E(\sqrt{1-k^2})-K(\sqrt{1-k^2})$。

第三类完全椭圆积分

不同$n$值的第三类完全椭圆积分$\mathrm{\Pi }(n,k)$

第三类完全椭圆积分$\mathrm{\Pi }$可以定义为

$\mathrm{\Pi }(n,k)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{(1-n{\sin }^2\theta )\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}$

注意有时第三类椭圆积分被定义为带相反符号的$n$，也即

${\mathrm{\Pi }}^{\prime }(n,k)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{(1+n{\sin }^2\theta )\sqrt{1-k{\text{'}}^2{\sin }^2\theta }}.$

用阿佩尔函数可表示为

$\mathrm{\Pi }(m,n)=\frac{\pi }{2}{F}_1(\frac{1}{2};1,\frac{1}{2};1;m,n)$

第三类完全椭圆积分和第一类椭圆积分之间的关系

$\mathrm{\Pi }[\frac{(1+x)(1-3x)}{(1-x)(1+3x)},\frac{(1+x{)}^3(1-3x)}{(1-x{)}^3(1+3x)}]-\frac{1+3x}{6x}K\left[\frac{(1+x{)}^3(1-3x)}{(1-x{)}^3(1+3x)}\right]=$

$\{\begin{array}{cc}0& \text{for }0<x<1\\ -\frac{\pi (x-1)\sqrt{(x-1)(1+3x)}}{12x}& \text{for }x<0,x>1\end{array}$

如

$K\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi }}{4\pi }{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3-\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{2}\mathrm{\Pi }(\frac{1-\sqrt{2\sqrt{3}-3}}{2},\frac{1}{2})$

$=\frac{3+\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{2}\mathrm{\Pi }(\frac{1+\sqrt{2\sqrt{3}-3}}{2},\frac{1}{2})-\pi \sqrt{2+\sqrt{3}+\sqrt{7+\frac{38}{9}\sqrt{3}}}$

偏导数

$\frac{\partial }{\partial n}\mathrm{\Pi }(n,k)=\frac{1}{2(k^2-n)(n-1)}[E(k)+\frac{(k^2-n)K(k)}{n}+\frac{(n^2-k^2)\mathrm{\Pi }(n,k)}{n}]$

$\frac{\partial }{\partial k}\mathrm{\Pi }(n,k)=\frac{k}{n-k^2}[\frac{E(k)}{k^2-1}+\mathrm{\Pi }(n,k)]$

特殊值

$\mathrm{\Pi }(0,0)=\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{\Pi }(n,0)=\frac{\pi }{2\sqrt{1-n}}$

$\mathrm{\Pi }(n,1)=-\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{sgn}n-1}$

$\mathrm{\Pi }(n,\sqrt{n})=\frac{E(n)}{1-n}$

$\mathrm{\Pi }(0,\sqrt{n})=K(n)$

$\mathrm{\Pi }(\pm \mathrm{\infty },\sqrt{n})=0$

$\mathrm{\Pi }(n,\pm \mathrm{\infty })=0$

函數關係

勒讓得關係指出了第一类和第二类完全椭圆积分之间的联系:

$K(k)E\left(\sqrt{1-k^2}\right)+E(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)-K(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)=\frac{\pi }{2}.$

参看

• 椭圆曲线
• 施瓦茨-克里斯托费尔映射
• 雅可比橢圓函數
• 魏爾斯特拉斯橢圓函數
• Θ函數
• 算术-几何平均数

参考

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See chapter 17).
• Harris Hancock Lectures on the theory of Elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910)
• Alfred George Greenhill The applications of elliptic functions (New York, Macmillan, 1892)
• Louis V. King On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals (Cambridge University Press, 1924)