類球面

椭圆围绕一个垂直轴旋转而成的类球面

扁球面		長球面

類球面是一種二次曲面。二維的橢圓有兩個主軸，稱為長軸與短軸。在三維空間裏，將一個橢圓繞著其任何一主軸旋轉，則可得到一個類球面。

• 假若，這旋轉主軸是長軸，則這個類球面為長球面。例如，英式足球裏所用的橄欖球是長球形狀。
• 假若，這旋轉主軸是短軸，則這個類球面為扁球面。例如，地球在北極與南極稍微有點扁平，在赤道又有點凸漲。所以，地球是扁球形狀。
• 假若，生成的橢圓是圓圈，則這個類球面為完全對稱的圓球面。

方程式

对类球面半轴的赋值。如果Template:Math则为扁球面（左图）而如果Template:Math则为长球面（右图）。

用另外一種方法來描述，類球面是一種橢球面。採用直角坐標$(x,y,z)$，橢球面可以表達為

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$；

其中，$a$與$b$分別是橢球面在x-軸與y-軸的赤道半徑，$c$是橢球面在z-軸的極半徑，這三個正值實數的半徑決定了橢球面的形狀。 以z-轴为旋转轴的类球面$a=b$，它的方程为：

$\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$。

• 假若，三個半徑都相等，則這橢球面是圓球面：

$a=c$。

• 假若，類球面的赤道半徑小於極半徑，則這是類球面是長球面：

$a<c$。

• 假若，類球面的赤道半徑大於極半徑，則這是類球面是扁球面：

$a>c$。

性质

面積

扁球面Template:Math，它的表面积为：

$S_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}=2\pi a^2(1+\frac{1-e^2}{e}\text{artanh}e)=2\pi a^2+\pi \frac{c^2}{e}\ln \left(\frac{1+e}{1-e}\right)$其中$e^2=1-\frac{c^2}{a^2}$。

扁球面是半长轴为Template:Mvar而半短轴为Template:Mvar的椭圆围绕Template:Mvar-轴旋转而形成的，因此Template:Mvar可看作为离心率。

长球面Template:Math，它的表面积为：

$S_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}=2\pi a^2(1+\frac{c}{ae}\arcsin e)$其中$e^2=1-\frac{a^2}{c^2}$。

长球面是半长轴为Template:Mvar而半短轴为Template:Mvar的椭圆围绕Template:Mvar-轴旋转而形成的，因此Template:Mvar可看作离心率。

體積

類球的體積是$\frac{4}{3}\pi a^{2}c$。

曲率

假若，一個類球面被參數化為

$\mathit{\sigma }(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,b\sin \beta )$ ;

其中，$\beta$是參數緯度（Template:Lang），$-\frac{\pi }{2}<\beta <\frac{\pi }{2}$，$\lambda$是經度，$-\pi <\lambda <+\pi$。

那麼，類球面的高斯曲率（Template:Lang）是

$K(\beta ,\lambda )=\frac{b^2}{(a^2+(b^2-a^2){\cos }^2\beta {)}^2}$。

類球面的平均曲率（Template:Lang）是

$H(\beta ,\lambda )=\frac{b(2a^2+(b^2-a^2){\cos }^2\beta )}{2a(a^2+(b^2-a^2){\cos }^2\beta {)}^{3/2}}$。

對於類球面，這兩種曲率永遠是正值的。所以，類球面的每一點都是橢圓的。

參閱

• 皮埃爾·莫佩爾蒂
• 橢球體
• 卵形體（Template:Lang）
• 長球面坐標系
• 扁球面坐標系