平均曲率

在微分几何中，一个曲面 $S$ 的平均曲率（Template:Lang）$H$，是一个“外在的”弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间（比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间）的曲率。

这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入。

定义

令 $p$ 是曲面 $S$ 上一点，考虑 $S$ 上过 $p$ 的所有曲线 $C_i$。每条这样的 $C_i$ 在 $p$ 点有一个伴随的曲率 $K_i$。在这些曲率 $K_i$ 中，至少有一个极大值 ${\kappa }_1$ 与极小值 ${\kappa }_2$，这两个曲率 ${\kappa }_1,{\kappa }_2$ 称为 $S$ 的主曲率。

$p\in S$ 的平均曲率是两个主曲率的平均值Template:Harv，由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值，故有此名。

$H=\frac{1}{2}({\kappa }_1+{\kappa }_2).$

利用第一基本形式与第二基本形式的系数，平均曲率表示为：

$H=\frac{LG-2MF+NE}{2(EG-F^2)},$

这里 $E,F,G$ 是第一基本形式的系数，$L,M,N$ 为第二基本形式的系数。

平均曲率可推广为更一般情形 Template:Harv，一个超曲面 $T$ 的平均曲率为：

$H=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\kappa }_i.$

更抽象地说，平均曲率是第二基本形式（或等价地，形算子）的迹 $\times \frac{1}{n}$。

另外，平均曲率 $H$ 可以用共变导数 $\mathrm{\nabla }$ 写成

$H\overrightarrow{n}=g^{ij}{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_{j}X,$

这里利用了高斯-Weingarten 关系，$X(x,t)$ 是一族光滑嵌入超曲面，$\overrightarrow{n}$ 为单位法向量，而 $g_{ij}$ 是度量张量。

一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外，平面 $S$ 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。

有些作者會將平均曲率直接定為第二基本形式的迹（而並未$\times \frac{1}{n}$）。然而，這並不影響一個曲面是否成為一個極小曲面的條件。

3 维空间中曲面

对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位法向量相关：

$2H=\mathrm{\nabla }\cdot \hat{n},$

这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的散度。

对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如 $z=S(x,y)$，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为

$\begin{array}{cc}2H& =\mathrm{\nabla }\cdot \left[\frac{\mathrm{\nabla }(S-z)}{|\mathrm{\nabla }(S-z)|}\right]\\ & =\mathrm{\nabla }\cdot \left[\frac{\mathrm{\nabla }S}{\sqrt{1+(\mathrm{\nabla }S{)}^2}}\right]\\ & =\frac{[1+{\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)}^2]\frac{{\partial }^{2}S}{\partial y^2}-2\frac{\partial S}{\partial x}\frac{\partial S}{\partial y}\frac{{\partial }^{2}S}{\partial x\partial y}+[1+{\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)}^2]\frac{{\partial }^{2}S}{\partial x^2}}{{[1+{\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)}^2]}^{\frac{3}{2}}}.\end{array}$

如果曲面还是轴对称的，满足 $z=S(r)$，则

$2H=\frac{\frac{{\partial }^{2}S}{\partial r^2}}{{[1+{\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)}^2]}^{\frac{3}{2}}}+\frac{\frac{\partial S}{\partial r}}{r{[1+{\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)}^2]}^{\frac{1}{2}}}$

流体力学

在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2：

$H_f=({\kappa }_1+{\kappa }_2).$

这出现于楊-拉普拉斯公式中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 $H_f$；两个曲率等于小滴半径的倒数 ${\kappa }_1={\kappa }_2=r^{-1}$。

极小曲面

Costa 极小曲面示意图

Template:Main 一个极小曲面是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链曲面、螺旋面、Scherk 曲面与Enneper 曲面。新近发现的包括Template:Le（1982年）与Template:Le（1970年）。

极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente在1986年曾构造出这样的自交环面Template:Harv。

参见

• 高斯曲率
• 平均曲率流
• 逆平均曲率流
• 面积公式第一变分

参考文献

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