離心率

離心率（eccentricity，$e$）又稱偏心率，是指“圆锥曲线上任一点 $M$ 到平面内一特定点 $F$ 的距离”与“$M$ 到平面内一不通过 $F$ 的特定直线 $L$ 的距离”之比。该特定点 $F$ 称为焦点（focus），特定直线 $L$ 称为准线（directrix）。

设一圆锥曲线 $C$ 由 $C:d(F,M)=e\cdot d(L,M)$ 定义，其中 $F$ 为焦点而 $L$ 为准线（详见主条目圆锥曲线），则此时 $e$ 称为$C$ 的离心率。

与焦距和轴长的关系

有同一焦点 $F$ 和同一准线 $L$ 的：椭圆（$e$=1/2）、抛物线（$e$=1）、双曲线（$e$=2）。

圆锥曲线之离心率与轴长有下述关系：

$e=\frac{c}{a}$

其中

• c = 半焦距
• a = 半长轴（椭圆）或半实轴（双曲线）

或采用较融贯的表法：

$e=\sqrt{1-k\cdot \frac{b^2}{a^2}}$

其中对椭圆取$k=1$，对抛物线取$k=0$，对双曲线取$k=-1$。

圆锥曲线依离心率之分类如下

• 圆：$e=0$
• 椭圆：$0<e<1$
• 抛物线：$e=1$
• 双曲线：$1<e<\mathrm{\infty }$

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• 标准椭圆方程：

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

此时半长轴=a，半短轴=b，焦距=2c，而且

$c^2=a^2-b^2$

• 标准双曲线方程：

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

此时半实轴=a，半虚轴=b，焦距=2c，而且

$c^2=a^2+b^2$