分式環

Template:NoteTA 在抽象代數中，分式環或分式域是包含一個整環的最小域，典型的例子是有理數域之於整數環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環，此時通常稱作全分式環。

分式環有時也被稱為商域，但此用語易與商環混淆。

構造

分式環是局部化的一個簡單特例。以下設 $R$ 為一個整環，而 $S:=R-\{0\}$。

在集合 $R\times S$ 上定義下述等價關係 $\sim$：

$(r,s)\sim (r^{\prime },s^{\prime })⟺r{s}^{\prime }-r^{\prime }s=0$

等價類 $[r,s]$ 可以想成「分式」 $r/s$，上述等價關係無非是推廣有理數的通分；藉此類比，在商集 $(R\times S)/\sim$ 上定義加法與乘法為：

$[r,s]+[r^{\prime },s^{\prime }]=[r{s}^{\prime }+r^{\prime }s,s{s}^{\prime }]$

$[r,s][r^{\prime },s^{\prime }]=[r{r}^{\prime },s{s}^{\prime }]$

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 $R\to (R\times S)/\sim$，定義為 $r\mapsto [r,1]$；這是一個單射。於是可定義分式環 $T(R):=(R\times S)/\sim$，再配上上述的加法與乘法運算。在實踐上，我們常逕將 $T(R)$ 裡的元素寫作分式 $r/s$。

泛性質

整環 $R$ 的分式環 $K(R)$ 及其自然環同態 $R\to K(R)$ 滿足以下的泛性質：

對任何環 $T$ 及環同態 $\varphi :R\to T$，若 $R-\{0\}$ 中的元素在 $\varphi$ 下的像皆可逆，則存在唯一的環同態 $\psi :K(R)\to T$，使得 $\varphi$ 是 $R\to K(R)$ 與 $\psi$ 的合成。

此性質不外是形式地表達了「K(R) 是包含 R 的最小的域」這個陳述。據此泛性質可形式地證明：任何一組資料 $(K,\varphi :R\to T)$ 若使得 $K-\{0\}$ 中的元素在 $\varphi$ 下的像皆可逆，且滿足上述泛性質，則 $K$ 必與 $T(R)$ 同構。

例子

• 有理數域 $\mathbb{Q}$ 是整數環 $\mathbb{Z}$ 的分式環。
• 有理函數域是多項式環的分式環
• 代數數域是代數整數環的分式環。
• 在一個連通複流形上，亞純函數域是全純函數環的分式環。

推廣

Template:Further 對於一般的交換環 $R$（容許有零因子），分式環是一種退而求其次的建構：我們想找使 $R\to S^{-1}R$ 為單射的「最大」局部化，詳述如下：

設 $S$ 為 $R$ 中的非零因子所成子集，它是個積性子集，因此可對之作局部化。令 $T(R):=S^{-1}R$，此時 $T(R)$ 常被稱作 $R$ 的全分式環。