韋達跳躍

韋達跳越（Template:Lang-en）是一個處理數論的證明技巧。通常是藉韋達定理，來對根進行無窮遞降法。

歷史

韋達跳越在国际奥林匹克数学竞赛（Template:Lang）裡是一個相對較新的數論解題技巧，在1988年IMO第一次出了這類的題目，且被認為是當年最難的題目。^[1]Arthur Engel 曾寫了關於這問題的一段描述：

在十一名學生中，有一名即為知名的菲爾茲獎得主吳寶珠。^[2]

標準型韋達跳躍的中心概念是反證法，由下列步驟所組成：

注： $(x, y)$ 的"最小"由一個函數 $f (x, y)$ 給出，通常可令 $f (x, y) = x + y$ 。

1988 IMO #6

$a$ 和 $b$ 是正整數，且 $a b + 1$ 整除 $a^{2} + b^{2}$ 。試證 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a b + 1}$ 為完全平方數。 ^[3]

令Template:Math。我們假設在滿足題目的條件下，存在一個或更多不是完全平方數的解Template:Math。
對特定Template:Math，使Template:Math為其對應解中Template:Math最小的，不失一般性可假設Template:Math。用變數Template:Math取代Template:Math，重整方程式可得Template:Math，其中一根為Template:Math。利用韋達定理，可將另一根表示成Template:Math或是Template:Math。
從Template:Math的第一個表示式可得Template:Math為整數，第二個表示式可得Template:Math因為Template:Math不是完全平方數。進一步的，我們從Template:Math可得Template:Math為正數。最後，從Template:Math可推出Template:Math，所以Template:Math，與Template:Math為最小矛盾。

$a$ 和 $b$ 是正整數，且 $a b$ 整除 $a^{2} + b^{2} + 1$ ，試證 $3 a b = a^{2} + b^{2} + 1$ 。^[4]

1988 IMO #6一樣可以使用幾何解釋解出。 $a$ 和 $b$ 是正整數，且 $a b + 1$ 整除 $a^{2} + b^{2}$ 。試證 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a b + 1}$ 為完全平方數。