陈类

Template:Rewrite Template:NoteTA 数学上，特别是在代数拓扑和微分几何中，陈类（Template:Lang-en，或稱陳氏類）是一类复向量叢的示性类，类比于Template:Link-en作为实向量叢的示性类。

陈类因陈省身而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。

定义

给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E, E的陈类是一系列X的上同调的元素。E的第k个陈类通常记为c_k(E),是X的整数系数的上同调群H^2k(X;Z)中的一个元素，并且满足如下公理:

公理1. 对于任何$E,c_0(E)=1\in H^0(X;\mathbb{Z})$

公理2. 自然性：如果$E\to X$是一个复向量丛，$f:Y\to X$是一个连续映射，$f^{*}E\to Y$是拉回的向量丛，那么对任意k，$c_k(f^{*}E)=f^{*}(c_k(E))\in H^{2k}(Y;\mathbb{Z})$

公理3. 惠特尼求和公式：如果$E_1,E_2\to X$是两个复向量丛，那么它们的直和$E_1\oplus E_2$的陈类是

$c_k(E_1\oplus E_2)=\sum _{i=0}^k{c}_i(E_1)\cup c_{k-i}(E_2)$

公理4. 如果$H\to {\mathbb{P}}^1$是复射影直线上的超平面丛，那么$c_1(H)$的庞加莱对偶是$1\in H_0({\mathbb{P}}^1;\mathbb{Z})$

陈数

任何陈类的积分是一个整数，叫陈数，有时候给卷绕数。

在物理学中，陈数有很多应用。例如第一陈数

$\varphi =\int c_1$

$e^{i\varphi /\hslash }$

描述阿哈罗诺夫－玻姆效应。第二陈数描述一种流形边界的陈-西蒙斯理论：

$\underset{M}{\int }{c}_2=\frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi }{)}^2\underset{M}{\int }dC{S}_3=\frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi }{)}^2\underset{\partial M}{\int }C{S}_3$

在物理学中，这有时候被叫做theta term，描述Witten效应、瞬子（第三同倫类）、軸子、Template:Le等等。

$S(A)=YM+\theta \underset{M}{\int }{c}_2$

其中的YM是杨-米尔斯的作用量。

陈-西蒙斯理论

陈-西蒙斯形式跟陈类有关：

$c_k=\frac{1}{k!}(\frac{i}{2\pi }{)}^{k}tr(F^k)=\frac{1}{k!}(\frac{i}{2\pi }{)}^{k}dC{S}_{2k+1}$

陈示性

若F是曲率形式，陈示性是

$ch(V)=[tr(\exp (iF/(2\pi ))]$

而且

$ch(V\oplus W)=ch(V)+ch(W)$

$ch(V\otimes W)=ch(V)ch(W)$

比方说，若V是U(1)主丛（阿贝尔规范）

$ch(V)=\exp (c_1(V))$

等价定义

同时，有很多处理这个定义的办法：陈省身最初使用了微分几何；在代数拓扑中，陈类是通过同伦理论定义的，该理论提供了把E和一个分类空间（在这个情况下是格拉斯曼流形联系起来的映射）；还有亚历山大·格罗滕迪克的一种办法，表明公理上只需定义线丛的情况就够了。陈类也自然的出现在代数几何中。

直观地说，陈类和向量丛的截面"所需要的0"的个数相关。

殆复流形的陈类和配边

陈类的理论导致了殆复流形的配边不变量的研究。

若M是一个复流形，则其切丛是一个复向量丛。M的陈类定义为其切丛的陈类。若M是紧的2d维的，则每个陈类中的2d次单项式可以和M的基本类配对，得到一个整数，称为M的。

若M′是另一个同维度的近复流形，则它和M配边，当且仅当M′和M陈数相同.

推广

陈类理论有个一般化，其中普通的上同调由一个广义上同调群理论所代替。使得这种一般化成为可能的称为复可定向的理论。陈类的形式化属性依然相同，但有一个关键的不同：计算线丛的张量积的第一陈类的规则不是各个因子的（普通）加法而是一个形式化群法则（Template:Lang）。

应用

• 拓扑K-理论
• 陳－韋伊同態

物理学

• 阿哈罗诺夫－玻姆效应
• 軸子
• 杨-米尔斯理论
• 瞬子
• 拓扑量子场论

参考文献

• Template:Citation
• Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.
• Chern, Shiing-Shen Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.