曲率形式

微分几何中，曲率形式（Template:Lang）描述了主丛上的联络的曲率。它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广。

定义

令 G 为一个李群，记 G 的李代数为 $g$。设 $E\to B$ 为一个主 G-丛。令 $\omega$ 表示 E 上一个埃雷斯曼联络（它是一个E上的 g-值 1-形式）。

那么曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式，定义为

$\mathrm{\Omega }=d\omega +\frac{1}{2}[\omega ,\omega ]=D\omega .$

这里 $d$ 表示标准外导数，$[*,*]$ 是李括号，而 D 表示外共变导数。或者说

$\mathrm{\Omega }(X,Y)=d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)].$

向量丛上的曲率形式

若 $E\to B$ 是一个纤维丛，其结构群为 G，我们可以在相伴的主 G-丛上重复同样的定义。

若 $E\to B$ 是一个向量丛则我们可以把 $\omega$ 看作是 1-形式的矩阵，则上面的公式取如下形式：

$\mathrm{\Omega }=d\omega +\omega \wedge \omega ,$

其中 $\wedge$ 是楔积。更准确地讲，若 ${\omega }_j^i$ 和 ${\mathrm{\Omega }}_j^i$ 分别代表 $\omega$ 和 $\mathrm{\Omega }$ 的分量（所以每个 ${\omega }_j^i$ 是一个通常的 1-形式而每个 ${\mathrm{\Omega }}_j^i$ 是一个普通的2-形式），则

${\mathrm{\Omega }}_j^i=d{\omega }_j^i+\sum _k{\omega }_k^i\wedge {\omega }_j^k.$

例如，黎曼流形的切丛，我们有 $O(n)$ 作为结构群而 ${\mathrm{\Omega }}_{}^{}$ 是在 $o(n)$ 中取值的 2-形式（给定标准正交基，可以视为反对称矩阵）。在这种情况，${\mathrm{\Omega }}_{}^{}$ 是曲率张量的一种替换表述，也就是在曲率张量的标准表示中，我们有

$R(X,Y)Z={\mathrm{\Omega }}_{}^{}(X\wedge Y)Z.$

上式使用了黎曼曲率张量标准记号。

比安基恒等式

如果 $\theta$ 是标架丛上的典范向量值 1-形式，联络形式 ω 的挠率 $\mathrm{\Theta }$ 是由结构方程定义的向量值 2-形式：

$\mathrm{\Theta }=d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,$

这里 D 代表外共变导数。

第一比安基恒等式（对于标架丛的有挠率联络）取以下形式

$D\mathrm{\Theta }=\mathrm{\Omega }\wedge \theta =\frac{1}{2}[\mathrm{\Omega },\theta ],$

第二比安基恒等式对于一般有联络的丛成立，并有如下形式

$D\mathrm{\Omega }=0.$

参看

• 联络 (主丛)
• 陈-西蒙斯形式（Chern-Simons form）
• 黎曼流形的曲率
• 规范场论

参考

• S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Chapters 2 and 3, Vol.I, Wiley-Interscience.