連續性方程式

Template:NoteTA 在物理學裏，連續性方程式（Template:Lang-en）是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。在適當條件下，質量、能量、動量、電荷等都是守恆量，因此很多傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。

連續性方程式是局域性的守恆定律方程式。與全域性的守恆定律相比，這種守恆定律条件更强。本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達了同樣的思想──在任意區域內某種守恆量總量的改變，等於從邊界進入或離去的數量；守恆量不能夠增加或減少，只能夠從某一個位置遷移到另一個位置。

每一種連續性方程式都既可以用積分形式表達（使用通量積分），描述任意有限區域內的守恆量；也可以用微分形式表達（使用散度算符），描述任意位置的守恆量。其微分形式与積分形式通过散度定理相互关联。

概論

微分形式

一般的連續性方程式的微分形式為

$\frac{\partial \phi }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐟=s$ ；

其中，$\phi$ 是某物理量 $q$ 的密度（每單位體積的物理量），$𝐟$ 是 $q$ 的流量密度（每單位面積每單位時間的物理量）的向量函數（Template:Lang），$s$ 是 $q$ 在每單位體積每單位時間的生成量。

假若 $s>0$ 則稱 $s$ 為「源點」；假若 $s<0$ 則稱 $s$ 為「匯點」。假設 $\phi$ 是没有产生或湮滅的守恆量，（例如，電荷），則 $s=0$ ，連續性方程式變為

$\frac{\partial \phi }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐟=0$ 。

從簡單的「能量連續性方程式」到複雜的納維-斯托克斯方程式，這方程式可以用來表示任意連續性方程式。该方程式也是平流方程式（Template:Lang）的推廣。

另一些物理學中的方程式也具有類似連續性方程式的數學形式，例如電場的高斯定律或引力场的高斯重力定律。但是他们通常不被稱為連續性方程式，因為 $𝐟$ 並不代表真實物理量的流動。

積分形式

在連續性方程式的積分形式裏，$𝕊$ 是包住體積 $𝕍$ 的任意閉曲面。如同圖內左邊的曲面（以藍色顯示），$𝕊$ 沒有邊界；而圖內右邊的曲面都有邊界（以紅色顯示）。

根據散度定理，連續性方程式可以寫為等價的積分形式：

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}+{\oint }_{𝕊}𝐟\cdot \mathrm{d}𝐚=S$ ；

其中，$𝕊$ 是包住體積 $𝕍$ 的任意固定（不隨時間改變）閉曲面，$Q$ 是在體積 $𝕍$ 內的 $q$ 總量，$S=\underset{𝕍}{\int }s{\mathrm{d}}^{3}r$ 是在積分體積 $𝕍$ 內源點與匯點的總生成量每單位時間，$\mathrm{d}𝐚$ 是微小面向量積分元素。

舉一簡例，假設 $𝕍$ 是台北101大樓，$Q$ 是在大樓內某時間的總人數，$𝕊$ 是由門口、牆壁、屋頂、地基等等，共同組成的曲面，則連續性方程式表明，當人們進入大樓時（代表穿過曲面的內向通量），或當大樓裏面的孕婦生產時（代表源點的 $s>0$ ），在大樓裏面的總人數會增加；而當人們離開大樓時（代表穿過曲面的外向通量），在大樓裏面的總人數會減少。

電磁理論

Template:Main 在電磁理論裏，連續性方程式可以視為一條經驗定律，表達局域電荷守恆，或是從馬克士威方程組推導出的結果。「電荷連續性方程式」表明，電荷密度 $\rho$ 的變率與電流密度 $𝐉$ 的散度，兩者的代數和等於零：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=0$ 。

馬克士威-安培方程式滿足局域電荷守恆的連續性方程式

馬克士威-安培方程式為

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial E}{\partial t}$ ；

其中，$𝐁$ 是磁場，$𝐄$ 是電場，${\mu }_0$ 是磁常數，${ϵ}_0$ 是電常數。

取散度於方程式的兩邊，由於旋度的散度必是零，

$0={\mu }_0\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)}{\partial t}$ 。

高斯定律的方程式為

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\rho /{ϵ}_0$ 。

將這方程式代入，可以得到

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=0$。

電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述：假若電荷從某微小體積元素移動出去（電流密度的散度是正值），則在那微小體積元素內的總電荷量會減少，電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺，連續性方程式就是電荷守恆。

四維電流

四維電流密度定義為

$J^{\alpha }\stackrel{def}{=}(c\rho ,𝐉)=(c\rho ,J_x,J_y,J_z)$ ；

其中，$\alpha$ 標記時空坐標，$c$ 是光速。

電荷守恆可以簡潔地由四維電流密度的散度表達，即連續性方程式

${\partial }_{\alpha }{J}^{\alpha }=0$ ；

其中，${\partial }_{\alpha }\stackrel{def}{=}(\frac{\partial }{\partial r^0},\frac{\partial }{\partial r^1},\frac{\partial }{\partial r^2},\frac{\partial }{\partial r^3})=(\frac{\partial }{c\partial t},\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$ 。

流體力學

在流體力學裏，連續性方程式表明，在任何穩定態過程中，質量進入物理系統的速率等於離開的速率。。此时連續性方程式与電路學的克希荷夫電流定律类似。「質量連續性方程式」的微分形式為

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐮)=0$；

其中，$\rho$ 是流體質量密度，$𝐮$ 是流速向量場，兩者相乘後為质量通量。

假設流體是不可壓縮流，則密度 $\rho$ 是常數，質量連續性方程式簡化為體積連續性方程式：

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐮)=0$ 。

這意味著，在所有位置，速度場的散度等於零；也就是說，局域的體積變率為零。

在另一方面，納維-斯托克斯方程式是一個向量連續性方程式，描述動量守恆。

能量

根據能量守恆，能量只能夠傳輸，不能夠生成或湮滅，这意味着「能量連續性方程式」。這是在熱力學定律（Template:Lang）外，能量守恆的另一种數學表述，即，

$\frac{\partial u}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐪=0$ ；

其中，$u$ 是能量密度（單位體積的能量），$q$ 是能量通量向量（數值大小為單位截面面積每單位時間傳輸的能量，方向為截面的外法线方向）。

根據傅立葉定律（Template:Lang），對於均勻傳導介質，

$𝐪=-k\mathrm{\nabla }T$ ；

其中，$k$ 是熱導率，$T$ 是溫度函數。

能量連續性方程式又可寫為热传导方程，

$\frac{\partial u}{\partial t}-k{\mathrm{\nabla }}^{2}T=0$ 。

量子力學

Template:Main 在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」假设一個量子系統的波函數為 $\mathrm{\Psi }(x,t)$ ，機率流 $𝐉$的定義為

$𝐉\stackrel{def}{=}\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{*})=\frac{\hslash }{m}\text{Im}({\mathrm{\Psi }}^{*}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi })$ ；

其中，$\hslash$ 是約化普朗克常數，$m$ 是質量，${\mathrm{\Psi }}^{*}$ 是 $\mathrm{\Psi }$ 是共軛複數，$\text{Im}()$ 是取括弧內項目的虚部。

連續方程式與機率守恒定律

機率流滿足量子力學的連續方程式：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=0$ ；

其中，$\rho =|\mathrm{\Psi }{|}^2$ 是機率密度。

應用高斯公式，可以等價地以積分方程式表示，

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{𝕍}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^2{\mathrm{d}}^{3}r+{\oint }_{𝕊}𝐉\cdot \mathrm{d}𝐚=0$ ；(1)

其中，$𝕍$ 是任意三維區域，$𝕊$ 是 $𝕍$ 的邊界曲面。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項（不包括對於時間的偏微分）是測量粒子位置時粒子在 $𝕍$ 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 $𝕍$ 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 $𝕍$ 內的機率對於時間的微分，与其流出三維區域的機率 $𝕍$ 的通量，兩者之和等於零。

連續方程式推导

測得粒子在三維區域 $𝕍$ 內的機率 $P$ 是

$P=\underset{𝕍}{\int }\rho {\mathrm{d}}^3𝐫=\underset{𝕍}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^2{\mathrm{d}}^3𝐫$ 。

機率對於時間的導數是

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{𝕍}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^2{\mathrm{d}}^{3}r=\underset{𝕍}{\int }(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}{\mathrm{\Psi }}^{*}+\mathrm{\Psi }\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial t}){\mathrm{d}}^{3}r$ ；(2)

注意到 $\mathrm{\Psi }$ 的含時薛丁格方程式為

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }+U\mathrm{\Psi }$ ；

其中，$U(𝐫)$ 是位勢。

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=-\underset{𝕍}{\int }\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }{\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\Psi }}^{*}){\mathrm{d}}^{3}r$ 。

應用一則向量恆等式，可以得到

$\mathrm{\nabla }\cdot ({\mathrm{\Psi }}^{*}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{*})=\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{*}\cdot \mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }+{\mathrm{\Psi }}^{*}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }\cdot \mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{*}-\mathrm{\Psi }{\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\Psi }}^{*}$ 。

這方程式右手邊第一項與第三項互相抵銷，將抵銷後的方程式代入，

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=-\underset{𝕍}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot \left[\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{*})\right]{\mathrm{d}}^{3}r$ 。

將機率密度方程式與機率流定義式代入，

$\underset{𝕍}{\int }\frac{\partial \rho }{\partial t}{\mathrm{d}}^{3}r=-\underset{𝕍}{\int }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉){\mathrm{d}}^{3}r$ 。

该等式對於任意三維區域 $𝕍$ 都成立，所以被積項目在任何位置都必須等於零：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=0$ 。

參閱

• 歐拉方程式
• 諾特定理