守恆量

Template:NoteTA 在經典力學裏，對於一個動力系統，隨著時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為守恆量（Template:Lang），又稱為運動常數。由於很多物理定律會表達某種守恆行為，對應的守恆量時常會出現於真實系統。例如，假設在某系統內涉及的作用力是保守力，則此系統的能量是守恆量。假設涉及的作用力是連心力，則此系統的角動量是守恆量。

動量

根據動量守恆定律，假若一個粒子所感受到的外力，其總向量和為零，則這粒子的動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻速運動或著靜止不變。以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力為零：

$𝐅=0$ 。

根據牛頓第二定律，淨外力與動量 $𝐩$ 的關係式為

$𝐅=\frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}$ 。

所以，動量是一個常數，是一個守恆量。

角動量

根據角動量守恒定律，假若一個粒子所感受到的外力矩，其其總向量和為零，則這粒子的角動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻角運動或直線運動。以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力矩 $\mathit{\tau }$ 為零：

$\mathit{\tau }=0$ 。

淨外力矩與角動量 $\mathit{\ell }$ 的關係式為

$\mathit{\tau }=\frac{\mathrm{d}\mathit{\ell }}{\mathrm{d}t}$ 。

所以，角動量是一個常數，是一個守恆量。

能量

在經典力學裏，粒子的能量定義為動能與勢能的代數和。根據能量守恒定律，假若一個粒子所感受到的外力都是保守力，則這粒子的能量保持不變，是一個守恆量。以方程式表達，能量 $E$ 為動能 $T$ 與勢能 $V$ 的代數和

$E=T+V$ 。

粒子的動能與運動速度 $𝐯$ 的關係為

$T=m{v}^2/2$ ；

其中，$m$ 是粒子的質量。

而對於保守系統，勢能與淨保守力 $𝐅$ 的關係為

$𝐅=-\mathrm{\nabla }V$ ；

能量對於時間的導數為

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=m𝐯\cdot \frac{\mathrm{d}𝐯}{\mathrm{d}t}+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }V=𝐯\cdot (m𝐚-𝐅)=0$ 。

所以，能量是一個常數，是一個守恆量。

能量函數

思考一個物理系統，其拉格朗日量是动能 $T$ 与势能 $V$ 的差值：

$ℒ=T-V$ 。

通常，動能的參數為廣義速度 ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,{\dot{q}}_3,\dots ,{\dot{q}}_N$ （符號上方的點號表示對於時間 $t$ 的全導數），而勢能的參數為廣義坐標 $q_1,q_2,q_3,\dots ,q_N;t$ ，所以，拉格朗日量的參數為 $q_1,q_2,q_3,\dots ,q_N;{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,{\dot{q}}_3,\dots ,{\dot{q}}_N;t$ 。

這物理系統的運動軌道，以拉格朗日方程式表示為

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_i}\right)-\frac{\partial ℒ}{\partial q_i}=0$；

其中，$t$ 是时间。

拉格朗日量對於時間的全導數為

$\frac{dℒ}{dt}=\sum _i\frac{\partial ℒ}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\sum _i\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_i}{\ddot{q}}_i+\frac{\partial ℒ}{\partial t}$ 。

將拉格朗日方程式代入，可以得到

$\begin{array}{cc}\frac{dℒ}{dt}& =\sum _i\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_i}\right){\dot{q}}_i+\sum _i\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_i}{\ddot{q}}_i+\frac{\partial ℒ}{\partial t}\\ & =\sum _i\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_i}{\dot{q}}_i\right)+\frac{\partial ℒ}{\partial t}\\ \end{array}$。

定義「能量函數」 $ℎ(q_1,q_2,q_3,\dots ;{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,{\dot{q}}_3,\dots ;t)$ 為

$ℎ\stackrel{def}{=}\sum _i\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_i}{\dot{q}}_i-ℒ$ ，

則能量函數與拉格朗日量的關係為

$\frac{dℎ}{dt}=-\frac{\partial ℒ}{\partial t}$ 。

假若拉格朗日量顯性地與時間無關，$\frac{\partial ℒ}{\partial t}=0$ ，$ℒ=ℒ(q_1,q_2,q_3,\dots ,q_N;{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,{\dot{q}}_3,\dots ,{\dot{q}}_N)$ ，則能量函數是一個常數，是一個守恆量。設定 $ℎ=E$ ，這常數 $E$ 可以稱為這物理系統的能量。因此，這物理系統的能量守恆。

參閱

• 李亞普諾夫函數
• 哈密頓系統
• 守恆定律