不可壓縮流

Template:Unreferenced Template:NoteTA 在連續介質力學裏，不可壓縮流（英語：incompressible flow）是流速的散度等於零的流動，更精確地稱為等容流。這理想流動可以用來簡化理論分析。實際而言，所有的物質多多少少都是可壓縮的。「等容」這一術語指的是流動性質，不是物質性質；是說在某種狀況，一個可壓縮流體會有不可壓縮流的動作。由於做了不可壓縮這假設，物質流動的主導方程式能夠極大地簡化。

不可壓縮流遵守以下方程式：

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0$ ；

其中，$𝐮$ 是物質流動的速度。

根據連續方程式，

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐮)=0$ ；

其中，$\rho$ 是物質密度。

以隨體導數(Template:Lang)表達，

$\frac{D\rho }{Dt}\stackrel{def}{=}\frac{\partial \rho }{\partial t}+(\mathrm{\nabla }\rho )\cdot 𝐮=-\rho (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)$ 。

由於 $\rho >0$ ，一個流動是不可壓縮流，若且唯若

$\frac{D\rho }{Dt}=0$ 。

也就是說，隨著物質元素的移動，質量密度是常數。

與壓縮因子的關係

在某些學術領域，一個流動的不可壓縮性質的度量，是由壓強的變化而造成的密度改變給出。這最好以壓縮因子 $Z$ 表達：

$Z=\frac{1}{\rho }\frac{d\rho }{dp}$ ；

其中，$p$ 是壓強。

假若壓縮因子足夠微小，則視此流動為不可壓縮流。

與螺線向量場的關係

一個不可壓縮流的速度場 $𝐮$ 是螺線向量場，又稱零散度場，其速度的散度等於零。不可壓縮流的速度場 $𝐮$ 可以表示為一向量勢 $𝐀$ 的旋度：

$𝐮=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$ 。

假設，這不可壓縮流的速度的旋度也等於零，則其速度場也是無旋場。對於這狀況 $𝐮$ 是一個拉普拉斯向量場(Template:Lang)，可以表示為一純量勢 $\varphi$ 的梯度：

$𝐮=\mathrm{\nabla }\varphi$ 。

這純量勢 $\varphi$ 滿足拉普拉斯方程式：

${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0$ 。

不可壓縮物質

不可壓縮物質定義為，在任何位置 $𝐫$ 與時間，密度恆定的物質。以方程式表達，

$\rho (𝐫,t)=constant$ 。

這意味著密度不會因時間而改變：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=0$ ，

而且，密度是均勻的：

$\mathrm{\nabla }\rho =0$ 。

從連續方程式，可以推論

$\frac{D\rho }{Dt}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }\rho =0⟹\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0$ 。

所以，不可壓縮物質的流動永遠是不可壓縮流；但是，反過來推論則不正確。

參閱

• 可壓縮流(Template:Lang)
• 泊肃叶定律