總變差去噪

總變差去噪（英語：Total Variation Denoising）是訊號處理中一種常見的降噪方法，於1992年由L. I. Rudin、Template:Le和E. Fatemi提出，因此亦稱為ROF模型。一個含有雜訊的訊號相較於其未受雜訊影響的訊號，會有較大的總變差值，即其梯度絕對值的總和較大。因此若能找到一個與原始訊號相似且總變差較小的訊號，即可作為原始訊號的降噪結果。此算法可以在去除雜訊的同時保留邊緣，即使在低訊號雜訊比的情況下，依然能有效的去噪和保留邊緣。

總變差

Template:See also 總變差為一函數其數值變化的總和。可表示為其微分後取絕對值再積分的結果。

一維連續函數

若一函數$y=f(x)$為一維連續可微函數，其在區間$[a,b]\subset ℝ$之總變差定義為

$T{V}_a^b(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f^{\prime }(x)|dx$,

其中$f^{\prime }(x)$為$f(x)$的一次微分。

當$f(x)$不可微分時，其總變差由一般性的定義給出:

$T{V}_a^b(y)=\underset{𝒫}{\sup }\sum _{i=0}^{n_P-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|$,

其中$𝒫$為區間$[a,b]$中所有可能的分割，即$𝒫=\{P=\{x_0,\dots ,x_{n_P}\}|P\text{ is a partition of }[a,b]\}$。

一維離散函數

若一函數$y=f(x)$為一維離散函數，則其總變差定義為

$TV(y)=\sum _n|f(x_{n+1})-f(x_n)|$.

即差分後取絕對值再加總的結果。

一維訊號去噪

設輸入的觀察訊號為$x$，對$x$去噪得到的訊號為$y$。我們可以透過解最佳化問題來從$x$得到$y$。當以總變差去噪法對訊號進行去噪時，最佳化問題應滿足以下兩個條件:

• $x$與$y$相似，以保留訊號整體的結構性
• $y$的總變差不大，以降低雜訊

在數學上，兩個訊號的相似度可以以兩者差的$L_2$-範數表示，即

$E(x,y)=\frac{1}{2}{\Vert x-y\Vert }_2^2=\frac{1}{2}\sum _n(x_n-y_n{)}^2$,

其中${\Vert \cdot \Vert }_2$即為$L_2$-範數，而$x_n,y_n$為訊號的取樣點。

藉由上述數學表達式，總變差去噪法的最佳化問題可以寫成

$\underset{y}{\min }E(x,y)+\lambda TV(y)$.

即利用最小平方法，並以總方差作為正規化的正規項，以求得去噪結果。其中$\lambda$為正規化參數，用於調整正規項的重要程度。

由於$E(x,y)$和$TV(y)$皆為凸函數，因此一維總變差去噪的最佳化為一凸優化問題，有許多凸優化演算法可以求解，且其解必為全局最佳值。

影像去噪

影像為二維離散訊號，在ROF模型中定義的總變差為

$TV(y)=\sum _{m,n}{\Vert \mathrm{\nabla }{y}_{m,n}\Vert }_2=\sum _{m,n}\sqrt{|y_{m+1,n}-y_{m,n}{|}^2+|y_{m,n+1}-y_{m,n}{|}^2}$,

其中$\mathrm{\nabla }$為梯度運算子。

然而該定義不可微分，做為最佳化問題的正規項時不易求解。因此也有$L_1$-範數形式的二維總變差

$TV(y)=\sum _{m,n}{\Vert \mathrm{\nabla }{y}_{m,n}\Vert }_1=\sum _{m,n}(|y_{m+1,n}-y_{m,n}|+|y_{m,n+1}-y_{m,n}|)$.

最佳化問題的形式與解一維訊號形式相同

$\underset{y}{\min }E(x,y)+\lambda TV(y)$.

然而二維訊號的最佳化問題不一定為凸優化問題，因此無法以常見凸優化演算法求解。目前發展能求解的演算法有Template:Link-en、交替方向乘子法(ADMM)、Template:Link-en等等。

其他變形

高階微分

總變差的概念為先微分取絕對值後再積分。因此在一些文獻中有使用到二階微分以上的例子。 當處理訊號為離散訊號時，二階差分的形式如下

$f^{″}(x_n)=f(x_{n-1})-2f(x_n)+f(x_{n+1})$

因此使用二階差分的總變差可定義為

$T{V}^{(2)}(y)=\sum _n|f^{″}(x_n)|$

而最佳化問題的形式為

$\underset{y}{\min }E(x,y)+{\lambda }_{1}TV(y)+{\lambda }_{2}T{V}^{(2)}(y)$

雙邊總變差去噪

雙邊總變差(bilateral total variation)是2004年由S.Farisu和D.Robinson提出的最佳化正規項。該正規項基於總變差，結合雙邊濾波器的概念而成。主要應用於影像復原。

雙邊總變差的形式如下

$BTV(𝐘)=\sum _{l=-P}^P\sum _{m=\max (0,-l)}^P{\lambda }^{|l|+|m|}{\Vert 𝐘-{𝐒}_x^l{𝐒}_y^m𝐘\Vert }_1$,

其中$𝐘$為處理圖片，${𝐒}_x^l$與${𝐒}_y^m$為兩個運算子，分別代表將圖片水平移動$l$個像素與垂直移動$k$個像素。$\lambda$為權重，隨著平移距離遞減。

當$l=1,m=0$和$l=0,m=1$時，圖片的每一個像素與相鄰之下一個像素相減，此時的雙邊總變差與總變差相同。當$l,m$為其它值時，可以當成是計算斜線方向以及將圖片降採樣後的總變差值。如此達到更好的正規化效果。

根據S.Farisu的實驗結果，雙邊總變差相對於總變差，邊界模糊的情況較少，能夠更好的保留原圖片邊界。

參見

• 數位訊號處理
• 最佳化
• 影像降噪
• 高斯模糊
• 中值濾波器
• 雙邊濾波器
• 非等向性擴散
• 非局部平均
• 三維塊匹配算法