总变差

当绿点遍历整个函数时，绿点在y-轴上的投影红点走过的路程就是该函数的总变分.

在数学中，总变差（Template:Lang-en）就是一函数其数值变化的差的总和。

定义

矢量空间

实值函数$f$定义在区间$[a,b]\subset ℝ$的总变差是一维参数曲线$x\mapsto f(x),x\in [a,b]$的弧长。 连续可微函数的总变差，可由如下的积分给出

$V_b^a(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f^{\prime }(x)|\mathrm{d}x.$

任意实值或虚值函数$f$定义在区间$[a,b]$上的总变差，由

$V_b^a(f)=\underset{P}{\sup }\sum _{i=0}^{n_P-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|,$

定义。其中$P$为区间$[a,b]$中的所有分划.

定义在有界区域$\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$上的实值可积函数$f$的总变差,定义为

$V(f,\mathrm{\Omega }):=\sup \{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\phi :\phi \in C_c^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^n),\Vert \phi {\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}\le 1\},$

其中 $C_c^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^n)$是Ω中的紧支集上全体连续可微向量函数构成的集合, $\Vert {\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}$是本质上确界范数。

若$f$可微，上式可简化为

$V(f,\mathrm{\Omega })=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\left|\mathrm{\nabla }f\right|.$

度量空间

在一个度量空间$(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma })$上，集函数$\mu :\mathrm{\Sigma }\to ℝ$，其总变差为：

$|\mu |(E)=\underset{\pi }{\sup }\sum _{A\in \pi }|\mu (A)|\mathrm{\forall }E\in \mathrm{\Sigma }$

其中$\pi$为$E$的划分。 如果$\mu$是符号测度，通过汉分解定理可知：

$|\mu |={\mu }^{+}+{\mu }^{-}$

可微定义的证明

首先需要利用高斯散度定理证明一个等式.

引理

在假设条件下，下面的等式成立：

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\phi =-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }f\cdot \phi$

引理证明

由高斯散度定理$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\text{div}𝐑=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }𝐑\cdot 𝐧$. 将$𝐑:=f\mathit{\phi }$代入，可得

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\text{div}\left(f\mathit{\phi }\right)=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\left(f\mathit{\phi }\right)\cdot 𝐧$

由于在$\mathrm{\Omega }$的边界上$\mathit{\phi }=0$,从而

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\text{div}\left(f\mathit{\phi }\right)=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\left(f\mathit{\phi }\right)\cdot 𝐧=0$

注意到$\text{div}\left(f\mathit{\phi }\right)=f\text{div}\mathit{\phi }+\mathrm{\nabla }f\cdot \phi$代入上式，移项即得

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\phi =-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }f\cdot \phi$.

如果函数$f$的总变差有限，则称函数$f$为有界变差函数.

参阅

• 有界变差
• Template:Le
• 总变差规则化
• 二次变差

外部链接

理论

单变量

• Boris I. Golubov (and comments of Anatolii Georgievich Vitushkin) "Variation of a function Template:Wayback", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
• "Total variation" on Planetmath.

多变量

• Comments of Anatolii Georgievich Vitushkin on the preceding article of Boris I. Golubov "Variation of a function Template:Wayback", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
• Boris I. Golubov "Arzelà variation Template:Wayback", "Fréchet variation Template:Wayback", "Hardy variation Template:Wayback", "Pierpont variation Template:Wayback", "Tonelli plane variation Template:Wayback", "Vitali variation Template:Wayback", voices from the Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.

测度论

• Rowland, Todd. "Total Variation Template:Wayback". From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.
• "Jordan decomposition Template:Wayback" on Planetmath.

概率论

• M. Denuit and S. Van Bellegem "On the stop-loss and total variation distances between random sums", discussion paper 0034 of the Statistic Institute of the "Université Catholique de Louvain".

应用

• Template:Harvard reference (a work dealing with total variation application in denoising problems for image processing).

• Tony F. Chan and Jackie (Jianhong) Shen (2005), Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, SIAM, ISBN 089871589X (with in-depth coverage and extensive applications of Total Variations in modern image processing, as started by Rudin, Osher, and Fatemi).