調和數

調和數可以指跟約數和有關的整數歐爾調和數。在數學上，第n個調和數是首n個正整數的倒數和，即

$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$

它也等于这些自然数的调和平均值的倒数的$n$倍。它可以推廣到正整數的倒數的冪之和，即$H_n^{(m)}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^m}$。

調和級數的性質

根據定義，調和數滿足遞推關係

$H_{n+1}=H_n+\frac{1}{n+1}$

它也滿足恆等式

$\sum _{k=1}^n{H}_k=(n+1)H_n-n$

計算

對於第n項調和數，有以下公式

$H_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^n}{1-x}dx.$

設:$x=1-u$，由此得到

$\begin{array}{cc}{H}_n& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^n}{1-x}dx\\ & =-\underset{1}{\overset{0}{\int }}\frac{1-(1-u{)}^n}{u}du\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-(1-u{)}^n}{u}du\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}[\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{k-1}]du\\ & =\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{k-1}du\\ & =\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{1}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}).\end{array}$

對於調和數$H_n$，當n不是太大時，可以直接計算。

當n特別大時，可以進行估算。

因為$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n)=\gamma$，

其中$\gamma \approx 0.5772156649$称为欧拉-马斯刻若尼常数，

由此得到

$H_n\sim \ln n+\gamma$

當n越大時，估算越精確。

更精確的估算是

$H_n\sim \ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{2k{n}^{2k}}=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots ,$

其中$B_k$是第k項伯努利數。

廣義調和數

廣義調和數滿足

$H_{\alpha }=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^{\alpha }}{1-x}dx.$

由此，我們得到

$H_{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}-3\ln 2+\frac{\pi }{2}$

$H_{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}(1-\ln 3)+\sqrt{3}\frac{\pi }{6}$

$H_{\frac{1}{2}}=2-2\ln 2$

$H_{\frac{1}{3}}=3-\frac{\pi }{2\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\ln 3$

$H_{\frac{1}{4}}=4-\frac{\pi }{2}-3\ln 2$

$H_{\frac{1}{6}}=6-\frac{\pi }{2}\sqrt{3}-2\ln 2-\frac{3}{2}\ln 3$

$H_{\frac{1}{8}}=8-\frac{\pi }{2}-4\ln 2-\frac{1}{\sqrt{2}}\{\pi +\ln (2+\sqrt{2})-\ln (2-\sqrt{2})\}$

$H_{\frac{1}{12}}=12-3(\ln 2+\frac{\ln 3}{2})-\pi (1+\frac{\sqrt{3}}{2})+2\sqrt{3}\ln \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)$

對於任意兩個正整數p和q，並且p＜q，我們有

$H_{\frac{p}{q}}=\frac{q}{p}+2\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{q-1}{2}\rfloor }\cos (\frac{2\pi pk}{q})ln(\sin (\frac{\pi k}{q}))-\frac{\pi }{2}cot(\frac{\pi p}{q})-ln(2q)$

微積分

對於每一個大於0的x，有

$H_x=x\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k(x+k)}.$

由此，得

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{H}_{x}dx=\gamma ,$

對於每一個n，有

$\underset{0}{\overset{n}{\int }}{H}_{x}dx=\ln (n!)+n\gamma .$

其他數列

根據定義，其他類似于調和數的數列有以下計算方法：

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=\psi (n+1)+\gamma$

$\sum _{k=0}^n\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2}[\psi (n+\frac{3}{2})+\gamma ]+\ln 2$

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{2k}=\frac{H_n}{2}$