立方体堆砌
Template:NoteTA Template:Distinguish Template:Infobox polytope 立方体堆砌（Cubic Honeycomb）[1]是三维空间内唯一的正密铺，也是28个半正密铺之一，由立方体堆砌而成，其縮寫為chon[2]。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体，因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。
立方形家族里的多胞形二胞角总是90°，因此总能独自完成超平面密铺，这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”，具有对称性，有施莱夫利符号形式Template:Mset。
性質
立方体堆砌由立方體填滿空間組成，每個頂點都是8個立方體的公共頂點、每條稜都是4個立方體的公共稜。
頂點坐標
立方体堆砌頂點的笛卡爾坐標為：
因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。
由於立方体堆砌是一個自身對偶多胞形，因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方体堆砌，因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子，而i,j,k值則為相鄰立方体幾何中心距離的整數倍。
正交投影
| 對稱性 | p6m (*632) | p4m (*442) | pmm (*2222) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 實體圖 | 
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| 框線圖 | 
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相關堆砌
立方體堆砌是平面正方形鑲嵌{4,4}在三維空間的類比，他們的形式皆為{4,3,...,3,4}，為立方形堆砌家族的一部份，在這個系列的鑲嵌都是自身对偶。他也是28種由凸均勻多面體組成的均勻鑲嵌之一。
自然界中的立方体堆砌
作为少有的三维半正堆砌，自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构，在固体物理学中被称为“立方晶系”，许多固体化合物，如氯化钠、硫化锌、氯化亚铜、萤石、三氧化铼和金属单质，如铝、钒、锂等，都具有这种晶系的结构。
簡單立方晶格
簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性，通過較低的晶系代表：
| 晶系 | 單斜 三斜 |
正交 | 四方 | 三方 | 立方 |
|---|---|---|---|---|---|
| 胞 單位晶格 |
平行六面體 | 長方體 | 三方 偏方面體 |
正方體 | |
| 點群 阶 旋轉對稱群 |
[ ], (*) Order 2 [ ]+, (1) |
[2,2], (*222) Order 8 [2,2]+, (222) |
[4,2], (*422) Order 16 [4,2]+, (422) |
[3], (*33) Order 6 [3]+, (33) |
[4,3], (*432) Order 48 [4,3]+, (432) |
| 圖示 | 
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| 空間群 旋轉對稱群 |
Pm (6) P1 (1) |
Pmmm (47) P222 (16) |
P4/mmm (123) P422 (89) |
R3m (160) R3 (146) |
PmTemplate:Overlinem (221) P432 (207) |
| 考克斯特式 | - | [∞]a×[∞]b×[∞]c | [4,4]a×[∞]c | - | [4,3,4]a |
| Template:Link-en | - | Template:CDD | Template:CDD | - | Template:CDD |
表面著色
作为立方形堆砌家族其中一员，立方体堆砌有对称性，有施莱夫利符号{4,3,4}，考克斯特符号Template:CDD，除此之外，作为一个空间堆砌，它有PmTemplate:Overlinem空间平移对称性。
而然，立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌，它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表：
| 名称 | 考克斯特标记 空间群 |
Template:Link-en | 施莱夫利符号 | 有限部 分图像 |
颜色组合 （字母表示） |
|---|---|---|---|---|---|
| 立方体堆砌 | [4,3,4] PmTemplate:Overlinem |
Template:CDD | {4,3,4} | Template:模板樣式色塊圖 | 1: aaaa/aaaa |
| 三次截半半 立方体堆砌 |
[4,31,1] FmTemplate:Overlinem |
Template:CDD | {4,31,1} | Template:模板樣式色塊圖 | 2: abba/baab |
| 截面立方体 堆砌 |
[4,3,4] PmTemplate:Overlinem |
Template:CDD | t0,3{4,3,4} | Template:模板樣式色塊圖 | 4: abbc/bccd |
| [[4,3,4]] PmTemplate:Overlinem (229) |
Template:CDD | t0,3{4,3,4} | Template:模板樣式色塊圖 | 4: abbb/bbba | |
| 正四棱柱 堆砌 |
[4,3,4,2,∞] | Template:CDD | {4,4}×t{∞} | Template:模板樣式色塊圖 | 2: aaaa/bbbb |
| 截棱正四棱柱 堆砌 |
[4,3,4,2,∞] | Template:CDD | t1{4,4}×{∞} | Template:模板樣式色塊圖 | 2: abba/abba |
| 无穷次无穷次 无穷边形 |
[∞,2,∞,2,∞] | Template:CDD | t{∞}×t{∞}×{∞} | Template:模板樣式色塊圖 | 4: abcd/abcd |
| 无穷次无穷次 无穷边形 |
[∞,2,∞,2,∞] | Template:CDD | t{∞}×t{∞}×t{∞} | Template:模板樣式色塊圖 | 8: abcd/efgh |
相關多面體和鑲嵌
立方体堆砌與四維超正方體施萊夫利符號{4,3,3}相似，但超正方體只存在四維空間，且每個邊的周為只有三個正方體而立方体堆砌有四個。此外，也可以有每個邊的周為有五個正方體，他稱為五階立方体堆砌，存在於雙曲空間，施萊夫利符號為{4,3,5}。
考克斯特群[4,3,4]、Template:CDD產生15個排列均勻的鑲嵌中，9個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方体堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。
| 空間群 | 纖維流形 | 擴展 對稱群 |
擴展 标记 |
阶 | 蜂巢體 （堆砌） |
|---|---|---|---|---|---|
| PmTemplate:Overlinem (221) |
4−:2 | [4,3,4] | Template:CDD | ×1 | Template:CDD 1, Template:CDD 2, Template:CDD 3, Template:CDD 4, Template:CDD 5, Template:CDD 6 |
| FmTemplate:Overlinem (225) |
2−:2 | [1+,4,3,4] ↔ [4,31,1] |
Template:CDD ↔ Template:CDD |
Half | Template:CDD 7, Template:CDD 11, Template:CDD 12, Template:CDD 13 |
| ITemplate:Overline3m (217) |
4o:2 | [[(4,3,4,2+)]] | Template:CDD | Half × 2 | Template:CDD (7), |
| FdTemplate:Overlinem (227) |
2+:2 | [[1+,4,3,4,1+]] ↔ [[3[4]]] |
Template:CDD ↔ Template:CDD |
Quarter × 2 | Template:CDD 10, |
| ImTemplate:Overlinem (229) |
8o:2 | [[4,3,4]] | Template:CDD | ×2 |
考克斯特群[4,31,1], Template:CDD, 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中，其中4個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方体堆砌。
| 空間群 | 纖維流形 | 擴展 對稱群 |
擴展 标记 |
阶 | 蜂巢體 （堆砌） |
|---|---|---|---|---|---|
| FmTemplate:Overlinem (225) |
2−:2 | [4,31,1] ↔ [4,3,4,1+] |
Template:CDD ↔ Template:CDD |
×1 | Template:CDD 1, Template:CDD 2, Template:CDD 3, Template:CDD 4 |
| FmTemplate:Overlinem (225) |
2−:2 | <[1+,4,31,1]> ↔ <[3[4]]> |
Template:CDD ↔ Template:CDD |
×2 | Template:CDD (1), Template:CDD (3) |
| PmTemplate:Overlinem (221) |
4−:2 | <[4,31,1]> | Template:CDD | ×2 |
Template:CDD 5, Template:CDD 6, Template:CDD 7, Template:CDD (6), Template:CDD 9, Template:CDD 10, Template:CDD 11 |
立方體堆砌是考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌[3]之一，其對稱性可以乘以環在考克斯特-迪肯符號的對稱性：
| 空間群 | 纖維流形 | 方形 對稱群 |
擴展 對稱群 |
擴展 标记 |
擴展 阶 |
蜂巢體 （堆砌） |
|---|---|---|---|---|---|---|
| FTemplate:Overline3m (216) |
1o:2 | a1 | [3[4]] | Template:CDD | ×1 | (None) |
| FdTemplate:Overlinem (227) |
2+:2 | p2 | [[3[4]]] | Template:CDD ↔ Template:CDD |
×2 | Template:CDD 3 |
| FmTemplate:Overlinem (225) |
2−:2 | d2 | <[3[4]]> ↔ [4,3,31,1] |
Template:CDD ↔ Template:CDD |
×2 | Template:CDD 1,Template:CDD 2 |
| PmTemplate:Overlinem (221) |
4−:2 | d4 | [2[3[4]]] ↔ [4,3,4] |
Template:CDD ↔ Template:CDD |
×4 | Template:CDD 4 |
| ImTemplate:Overlinem (229) |
8o:2 | r8 | [4[3[4]]] ↔ [[4,3,4]] |
Template:CDD ↔ Template:CDD |
×8 | Template:CDD 5, Template:CDD (*) |
参考
Template:Reflist Template:Commonscat
- H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover参与编辑, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
- George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) （包含11个凸半正镶嵌、28个凸半正堆砌、和143个凸半正四维砌的全表）
- Branko Grünbaum, 三维正镶嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication参与编辑, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] Template:Wayback
- (22页) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空间镶嵌)
- A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
- Template:KlitzingPolytopes
- Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon Template:Wayback
- ↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
- ↑ Template:Cite klitzing
- ↑ [2] Template:Wayback, A000029 Template:Wayback 6-1 cases, skipping one with zero marks