平行六面体

在几何学中，平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体，是一種平行多面體。它与平行四边形的关系，正如正方体与正方形之间的关系；在欧几里得几何中这四个概念都允许，但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为：

• 六个面都是平行四边形的多面体；
• 有三对对面平行的六面体；
• 底面为平行四边形的棱柱。

长方体（六个面都是长方形）、正方体（六个面都是正方形），以及菱面体（六个面都是菱形）都是平行六面体的特殊情况。

平行六面体是拟柱体的一个子类。

性质

平行六面体可由正方体经线性变换而成。

用相同的平行六面体，可以镶嵌整个空间。

体积

基本公式

平行六面体的体积是底面 $A$ 与高 $h$ 的乘积，即

$V=Ah$ 。

这里的高是底面与对面的垂直距离。

以向量計算

用向量来定义平行六面体。

另外一个方法是用向量 $𝐚=(a_1,a_2,a_3)$ ， $𝐛=(b_1,b_2,b_3)$ ，以及 $𝐜=(c_1,c_2,c_3)$ 来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积 $V$ 等于純量三重积：

$V=|𝐚\cdot (𝐛\times 𝐜)|=|𝐛\cdot (𝐜\times 𝐚)|=|𝐜\cdot (𝐚\times 𝐛)|$。

證明：

以 $𝐛$ 和 $𝐜$ 来表示底面的边，则根据向量积的定义，底面的面积 $A$ 为：

$A=|𝐛||𝐜|\sin \theta =|𝐛\times 𝐜|$ ，

其中 $\theta$ 是 $𝐛$ 与 $𝐜$ 之间的角，而高为：

$h=|𝐚|\cos \alpha$，

其中 $\alpha$ 是 $𝐚$ 与 $h$ 之间的角。

从图中我们可以看到， $\alpha$ 的大小限定为 $0^{\circ }\le \alpha <90^{\circ }$ 。而向量 $𝐛\times 𝐜$ 与 $𝐚$ 之间的角 $\beta$ 则有可能大于90°（$0^{\circ }\le \beta <180^{\circ }$）。也就是说，由于 $𝐛\times 𝐜$ 与 $h$ 平行， $\beta$ 的值要么等于 $\alpha$ ，要么等于 $180^{\circ }-\alpha$ 。因此：

$\cos \alpha =\pm \cos \beta =|\cos \beta |$，

且

$h=|𝐚||\cos \beta |$。

我们得出结论：

$V=Ah=|𝐚||𝐛\times 𝐜||\cos \beta |$ ，

于是，根据純量积的定义，它等于 $𝐚\cdot (𝐛\times 𝐜)$ 的绝对值，即：

$V=|𝐚\cdot (𝐛\times 𝐜)|$。

证毕。

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值：

$V=|\det \left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right]|$。

以稜長及夾角計算

若 $a$ 、$b$ 及 $c$ 是三條兩兩相鄰的稜長，且$\alpha$ 、 $\beta$ 及 $\gamma$ 是三條稜邊的夾角，則平行六面体的体积為：

$V=abc\sqrt{1+2\cos (\alpha )\cos (\beta )\cos (\gamma )-{\cos }^2(\alpha )-{\cos }^2(\beta )-{\cos }^2(\gamma )}$ 。

證明

從上面可知，平行六面体的体积可表示為：

$V=|\det 𝐃|$

其中：

$𝐃=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right]$。

因此

$V^2=\det (𝐃{𝐃}^t)=\det \left[\begin{array}{ccc}a\cdot a& a\cdot b& a\cdot c\\ b\cdot a& b\cdot b& b\cdot c\\ c\cdot a& c\cdot b& c\cdot c\end{array}\right]$

依行列式及純量積定義展開公式右手邊，即可得上述公式。

以座標計算

選取任意一頂點 $(x_1,y_1,z_1)$ 以其相鄰三個頂點 $(x_2,y_2,z_2)$ 、 $(x_3,y_3,z_3)$ 及 $(x_4,y_4,z_4)$ ，則體積可表示為：

$V=|\det \left[\begin{array}{cccc}{x}_1& y_1& z_1& 1\\ x_2& y_2& z_2& 1\\ x_3& y_3& z_3& 1\\ x_4& y_4& z_4& 1\end{array}\right]|.$

特殊情况

如果平行六面体具有对称平面，则一定是以下两种情况之一：

• 四个面是长方形；
• 两个面是菱形，而在另外四个面中，两个相邻面相等，另外两个面也相等。

长方体是六个面都是长方形的平行六面体；正方体是六个面都是正方形的平行六面体。

菱面体是六个面都是菱形的平行六面体；三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。

完美平行六面體

完美平行六面體指棱長、面對角線和體對角線都是整數的平行六面體。在2009年，發現了數十個完美平行六面體的例子，包括棱長271、106及103，劣面對角線長101、 266及255，優面角線長183、 312及323,以及體對角線長374、 300、 278及272的平行六面體。

超平行体

平行六面体在高维空间的推广称为超平行体。

特别地，n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此，平行四边形就是2维超平行体，平行六面体就是3维超平行体。

n维超平行体的所有对角线相交于一点，并被这个点所平分。

位于${ℝ}^m$空间中的n维超平行体的n维体积（$m\ge n$），可以用格拉姆行列式的方法来计算。

参考文献

• Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973.

外部链接

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